中学受験　算数

　Ａ、Ｂを整数とするとき、[Ａ，Ｂ]は、Ａの約数の個数とＢの約数の個数の和を表します。例えば、６の約数は１、２、３、６の４個、１１の約数は１、１１の２個なので、[６，１１]＝６となります。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）[１２，３０]を求めなさい。
（２）[ａ，４]＝８となる整数ａのうち、最も小さいものを求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（渋谷教育学園幕張中学校０５年１次第１問）

 

（１）

１２の約数は１、２、３，４，６，１２の６つ。

 

３０の約数は１，２，３，５，６，１０、１５、３０の８つ。

 

６＋８＝１４

 

答えは、１４になります。

 

 

（２）

４の約数は１，２，４の３つ。

 

したがって、aの約数は５つとなります。

 

約数が５つとなる最小の数を出せばいいのです。

 

約数が奇数個となるのは平方数（同じ数をかけあわせた数）です。

 

９の約数は、１，３，９の３つ。

 

１６の約数は、１，２，４，８，１６で５つです。

 

答えは、１６です。

 

 

 

＜約数２＞ 

（１）２２２の約数を全部書くと、[　　　　　　　　　　　　　　]です。
（２）花子さんは、１個３７円の商品Ａと１個８０円の商品Ｂと１個６２円の商品Ｃを何個かずつ買いました。値段の合計は２２２００円で、商品Ｂの個数と商品Ｃの個数の比は３：４でした。
花子さんは、商品Ａを[　　]個、商品Ｂを[　　]個、商品Ｃを[　　]個買いました。

　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校０４年第５問）

 

（１）

２２２＝２×３×３７

 

答えは、１，２，３、６、３７、７４、１１１，２２２です。

 

 

（２）

商品Ｂと商品Ｃを１パックで考えます。

 

８０×３＋６２×４＝４８８

 

３７×○＋４８８×□＝２２２００

 

（１）の問題を利用しましょう。

 

２２２００は３７の倍数ですから、

 

３７×○が３７の倍数なので、４８８×□も３７の倍数になります。

 

４８８は３７の倍数ではないので、□は３７の倍数のはずです。

 

よって、□＝３７

○＝１１２

 

３７×３＝１１１

３７×４＝１４８

 

答えは、商品Ａを１１２個、商品Ｂを１１１個、商品Ｃを１４８個となります。

 

 

 

 

 

　１×２×３、２×３×４、３×４×５、・・・、９８×９９×１００のように連続する３つの整数の積を９８種類考えます。
　このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）９８種類のうち、１００の倍数はいくつありますか。
（２）９８種類のうち、４の倍数はいくつありますか。
（３）９８種類のすべてが、６の倍数になることを説明しなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（渋谷教育学園幕張中学校０４年１次第３問）

 

（１）

まず１００の倍数になる条件を整理しましょう。

 

１００を分解すると、

 

１００＝２×２×５×５

 

連続した３つの数字に５の倍数は２つ以上はないので、２５の倍数のみを考えればいいわけです。

 

つまり、２５×２×２をふくんでいればいいのです。

 

２３×２４×２５の場合、２４が４の倍数なので○

２４×２５×２６の場合も○

２５×２６×２７の場合は、２６も２７も４で割り切れないので×

 

同様に続けます。

 

４８×４９×５０の場合、４８が２の倍数なので○

４９×５０×５１の場合は、４９も５１も２で割り切れないので×

５０×５１×５２の場合、５２が２の倍数なので○

 

７５の場合は、７５×４をふくんでいればいいので、

 

７３×７４×７５の場合、７３も７４も４で割り切れないので×

７４×７５×７６の場合は、７６が４の倍数なので○

７５×７６×７７の場合も、７６が４の倍数なので○

 

９８×９９×１００の場合は、１００が入っているのでもちろん○

 

したがって、

 

２＋２＋２＋１＝７

 

答えは、７個です。

 

 

（２）

４の倍数の条件は簡単です。

 

４＝２×２

 

ですから、偶数が２つあれば４の倍数です。

 

そして、偶数が１つの場合、それが４の倍数なら条件を満たします。

 

偶数が２つになるのは９８種類中４９組ですね。

 

偶数が１つの場合も４９組あり、以下のようになります。

 

１×２×３、３×４×５、５×６×７、・・・・・・、９７×９８×９９

 

そのうち４の倍数は、２４組あります。

 

したがって、

 

４９＋２４=７３

 

答えは、７３個です。

 

 

（３）

６を分解すると、

 

６=２×３

 

連続する３つの数には、必ず３の倍数が含まれますし、もちろん偶数もふくまれます。

 

したがって、必ず６の倍数となります。

 

 

 

 

 

　１や１０００は３で割ると１余る整数です。１から１０００までの整数の中から、３で割ると１余る整数について次の問いに答えなさい。
（１）２の倍数、５の倍数はそれぞれいくつありますか。
（２）２の倍数でも５の倍数でもない整数はいくつありますか。

　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校０２年第２問）

 

（１）

２の倍数の場合、４、１０、１６、２２・・・・・・

 

したがって、

 

（１０００＋２）÷６＝１６７

 

２の倍数は、１６７個になります。

 

５の倍数の場合、１０、２５、４０・・・・・・

 

したがって、

 

（１０００＋５）÷１５＝６７

 

５の倍数は、６７個になります。

 

 

（２）

下のベン図を見てください。

 

 

 

（１）の答えが、ＡとＢにあたるわけですね。

 

Ｃには２と５の公倍数である１０の約数が入りますから、

 

１０、４０、７０・・・・・・

 

よって、

（１０００＋２０）÷３０＝３４

 

１０の倍数は３４個になり、

 

１から１０００までの整数の中から、３で割ると１余る整数は、

 

１、３、７、１０・・・・・・

 

よって、

 

（１０００＋２）÷３＝３３４

 

だから、

３３４－（１６７＋６７－３４）＝１３４

 

答えは、１３４個になります。

　Ｎを整数とします。１からＮまでの整数のうち、３の倍数の個数をＡ、４の倍数の個数をＢ、３の倍数でも４の倍数でもない数の個数をＣとします。
（１）Ｎが５０のとき、Ａ、Ｂ、Ｃをそれぞれ求めなさい。
（２）Ｃが１２となるようなＮをすべて求めなさい。
（３）Ｎを１から２５０までの整数とします。ＮがＣの２倍となるようなＮは何個ありますか。
（４）ＡとＢの差が１５となるようなＮは何個ありますか。また、これらの数のうち、最も小さい数と最も大きい数をそれぞれ求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（桐朋中学校０７年第７問）

 

 

（１）

５０÷３＝１６・・・２

 

５０÷４＝１２・・・２

 

５０÷１２＝４・・・２　（１２は３と４の最小公倍数です）

 

３の倍数と４の倍数を引き、二重に引いた個数を足せばいいので、

 

５０－１６－１２＋４＝２６

 

答えは、Ａ＝１６、Ｂ＝１２、Ｃ＝２６となります。

 

 

（２）

２と３の最小公倍数である１２をＮとすると、

 

１２－４－３＋１＝６

 

そうすると、Ｎ＝２４がまず確定します。

 

２５になると、

 

２５－８－６＋２＝１３（×）

 

２３になると、

 

２３－７－５＋１＝１２（○）

 

２２なら、

 

２２－７－５＋１＝１１（×）

 

答えは、２３と２４になります。

 

 

（３）

ＮがＣの２倍となるような数なので、Ｎは偶数のはずです。

 

Ｎが２の場合、Ｃは２（×）

Ｎが４の場合、Ｃは２（○）

Ｎが６の場合、Ｃは３（○）

Ｎが８の場合、Ｃは４（○）

Ｎが１０の場合、Ｃは５（○）

Ｎが１２の場合、Ｃは６（○）

 

よって、１２ごとに５つあることが分かります。

 

２５０÷１２＝２０・・・１０

 

２０×５＋４＝１０４

 

答えは、１０４個です。

 

 

（４）

Ｎが１２の場合、Ａは４でＢが３となり、差は１ですね。

 

Ｎが１８０の場合、Ａは６０でＢは４５となり、差は１５（○）

Ｎが１８１の場合、Ａは６０でＢは４５となり、差は１５（○）

Ｎが１８２の場合、Ａは６０でＢは４５となり、差は１５（○）

Ｎが１８３の場合、Ａは６１でＢは４５となり、差は１６（×）

Ｎが１８４の場合、Ａは６１でＢは４６となり、差は１５（○）

Ｎが１８５の場合、Ａは６１でＢは４６となり、差は１５（○）

Ｎが１８６の場合、Ａは６２でＢは４６となり、差は１６（×）

Ｎが１８７の場合、Ａは６２でＢは４６となり、差は１６（×）

Ｎが１８８の場合、Ａは６２でＢは４７となり、差は１５（○）

Ｎが１８９の場合、Ａは６３でＢは４７となり、差は１６（×）

Ｎが１９０の場合、Ａは６３でＢは４７となり、差は１６（×）

Ｎが１９１の場合、Ａは６３でＢは４７となり、差は１６（×）

Ｎが１９２の場合、Ａは６４でＢは４８となり、差は１６（×）

・・・・・・

 

もっと大きい数は１８８です。

 

同様に、

 

Ｎが１７９の場合、Ａは５９でＢは４４となり、差は１５（○）

Ｎが１７８の場合、Ａは５９でＢは４４となり、差は１５（○）

Ｎが１７７の場合、Ａは５９でＢは４４となり、差は１５（○）

Ｎが１７６の場合、Ａは５８でＢは４４となり、差は１４（×）

Ｎが１７５の場合、Ａは５８でＢは４３となり、差は１５（○）

Ｎが１７４の場合、Ａは５８でＢは４３となり、差は１５（○）

Ｎが１７３の場合、Ａは５７でＢは４３となり、差は１４（×）

Ｎが１７２の場合、Ａは５７でＢは４３となり、差は１４（×）

Ｎが１７１の場合、Ａは５７でＢは４２となり、差は１５（○）

Ｎが１７０の場合、Ａは５６でＢは４２となり、差は１４（×）

 

最も小さい数は１７１です。

 

ＡとＢの差が１５となるようなＮは１２個あります。

 

 

 

 

 

＜数の性質１＞ 

　次の①～④が成り立つような５つの数の組をすべて求めなさい。
　①５つの数はすべて異なる整数です。
　②５つの数の平均は６０です。
　③大きい方の２つの数の和は、小さい方の３つの数の和に等しい。
　④最大の数は、最小の数の５倍です。
　答えは、左から大きい順に書きなさい。また、答えのらんは全部使うとは限りません。
　（答えのらんは４つ分ありました。）

　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校０２年第５問）

 

 

大きい方から、Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅと呼びましょう。

 

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝３００

Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋Ｄ＋Ｅ

Ａ＝Ｅ×５

 

そこから、

 

Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝１５０

 

Ａが５の倍数なので、Ａは８０、８５、９０、９５のどれかとなります。

（Ｃが５１以上なので、Ｂは５２以上になるはずであり、Ａは１００にはなりません。）

 

Ｅは、１６、１７、１８、１９のどれかになります。

 

そうすると、

 

（１５０－１９）÷２＝６５．５

 

Ｃは６６以上になるので、Ｂは６７以上となり、Ａが８０とわかります。

 

そこから、Ｂは７０、Ｅは１６と決まります。

 

答えは、８０、７０，６８、６６、１６、

もしくは、８０、７０、６９、６５、１６、となります。