カテゴリー別問題の傾向と対策~数量~

 

<単位の換算1>
中学受験の算数が苦手な子は単位の換算が苦手な場合が多いようです。
単位の換算は早めに克服しておきましょう。
 
例えば、1 =10d =1000cm3
 
ここまでは何が何でも覚えておきましょう。
では、1 は何m3でしょうか? 
 
このレベルになると、できない生徒が多いものです。
こう考えると簡単です。
「1 は1辺が10cmの立方体」である。
したがって、1 は何m3かと問われれば、1辺が0.1mの立方体の体積と同じだから、
0.1×0.1×0.1=0.001
 
1 は0.001m3となるわけです。
 
 
 
<単位の換算2>
1 は何mm3でしょうか?
「単位の換算1」と同じ発想です。
1 は1辺が10cmの立方体でしたね。
したがって、1 は何mm3かと問われれば、1辺が100mmの立方体の体積と同じだから、
100×100×100=1,000,000
1 は1,000,000mm3となるわけです。
 
 
 
<単位の換算3>
中学校受験の算数の単位のなかで、意外に間違えることが多いのは、ha(ヘクタール)とa(アール)です。
1ha=10000 m2
1a=100m2
ここまでは覚えていてほしいです。
 
では、1haは何kmでしょうか? 
 
 
こう考えると簡単です。
「1haは1辺が100mの正方形」である。
したがって、何kmかと問われれば、1辺が0.1kmの正方形の面積と同じだから、
0.1×0.1=0.01
1haは0.01kmとなるわけです。
もちろん、「1aは1辺が10mの正方形」である、と覚えるわけです。
 
 
 
<速さ1>
一定の速さで一つの円周をまわる3つの点A、B、Cがあります。AとBは同じ向きに、CはA、Bとは反対の向きに進みます。3つの点A、B、Cが同じ地点から1時ちょうどに出発しました。AとCは1時2分に、BとCは1時7分に、出発後初めて出会いました。また、Aは1時2分30秒に初めて元の地点に戻(もど)りました。
 
(1)Bが初めて元の地点に戻る時刻を求めなさい。
(2)AがBに初めて追いつく時刻を求めなさい。
(3)A、B、Cが初めて正三角形の3つの頂点となる時刻を求めなさい。
               (開成中学校07年第3問)
 
 
(1)
Aは1周の4/5進んだところでCと出会うので、
 
Aの速さ:Cの速さ=4:1
 
Cは2分で1周の1/5進むので、7分で1周の7/10進むはずなので、
 
Bの速さ:Cの速さ=3:7
 
比をそろえると、
 
Aの速さ:Bの速さ:Cの速さ=28:3:7
 
Aが1周に150秒かかるので、Bは1周に、
 
150×28=○×3
○=1400
 
答えは、1時23分20秒です。
 
 
(2)
Aの速さの比が28で、1周するのに150秒かかるので、
 
28×150=4200(1周の道のり)
 
4200÷(28-3)=168
 
答えは、1時2分48秒となります。
 
 
(3)
1番遅いBを固定したものと考えます。
 
Aが25の速さ(28-3)で時計回りに、
 
Cが10の速さ(7+3)で反時計回りに回っていると考えればいいでしょう。

 
このように考えたときのAとCの速さの比は

25:10=5:2

 
だから、同一時間に進んだ距離の比も5:2となります。

 
円周を図のように3等分します。
 
速さ1-円周3等分

A、B、Cが正三角形の3頂点となるのは、CがPに来てAがQに来るか、CがQに来てAがPに来るかです。

Cが初めてPに来たとき(Cが1/3周進んだとき)、Aは1/3×5/2=5/6周進むので、この場合は駄目です。

 
Cが初めてQに来たとき(Cが2/3周進んだとき)、Aは2/3×5/2=5/3周=1周+2/3周進んだ地点Pに来るので、この場合には条件を満たします。

 
したがって、A、B、Cが初めて正三角形の3つの頂点となるのは、Bを固定して見た場合に、Aが1・2/3周したときなので、

150×1・2/3×28/25=280秒

答えは、1時4分40秒となります。
 
 
 
<速さ2>
周の長さが600cmの円があります。この円の周上に2つの点A、Bがあり、直線ABはこの円の直径です。2つの点P、Qはそれぞれ点A、Bを同時に出発し、この円の周上を時計まわりに進みます。点P、Qの速さはそれぞれ秒速8cm、秒速4cmです。点Pは点Qと出会うごとに速さを変えずにそれまでと反対まわりに進みます。
 次の問いに答えなさい。

(1)点P、Qが2回目に出会うのは、出発してから何秒後ですか。
(2)点P、Qが3回目に出会うのは、出発してから何秒後ですか。
(3)点Aで点P、Qが2回目に出会うのは、出発してから何秒後ですか。
               (フェリス女学院中学校06年第2問)
 
(1)
1回目に出会うまでに、
 
300÷(8-4)=75
 
それから方向を変えて1周を向かい合って進むので、
 
600÷(8+4)=50
 
答えは、125秒後です。
 
 
(2)
次は1週を同じ方向で進むので、
 
600÷(8-4)=150
 
答えは、275秒後です。
 
 
(3)
点Qは向きを変えないので、点Qが点Aにいる時を、
 
75秒後、225秒後、375秒後、525秒後、675秒後、・・・・・・
 
点Pが点Qと出会うのは、2回目以降、+150秒、+50秒、+150秒、+50秒、・・・・・・
 
125秒後、275秒後、325秒後、475秒、525秒、675秒、・・・・・・
 
答えは、525秒後です。
 
 
 
<速さ3>
AさんとBさんが池のまわりでゲームをします。
Aさんは池を右まわりでまわります。歩いて1周するのに12分かかります。
Bさんは池を左まわりでまわります。Aさんの歩く速さはBさんの歩く速さの5/4倍です。
2人は同じ地点から同時に歩き始め、出会うとじゃんけんをし、勝ち負けを決めます。勝った人はそのまま歩き、負けた人はそこからうさぎとびをします。うさぎとびの速さは歩く速さの3/4倍です。じゃんけんにかかる時間は考えないものとします。
 
(1)2人が初めて出会うのは歩き始めてから何分後ですか。
(2)2人が2回目に出会うのは、1回目に出会ってから何分後と何分後の場合がありますか。
               (桜蔭中学校07年第3問)
 
 
(1)
池の周りを1とすると、
 
Aさんの速さは分速1/12で、Bさんの速さは、
 
1/12=○×5/4
 
○=1/12÷5/4
○=1/15
 
だから、
 
1÷(1/12+1/15)=6・2/3
 
答えは、6・2/3分後です。
 
 
(2)
Aさんがじゃんけんに勝った場合、
 
1÷(1/12+1/15×3/4)=7・1/2
 
Bさんがじゃんけんに勝った場合、
 
1÷(1/12×3/4+1/15)=7・23/31
 
答えは、7・1/2分後と、7・23/31分後です。
 
 
 
<速さ4>
A駅とB駅は200km離れています。下の図はA駅を出発してからB駅につくまでの列車1号、列車2号、列車3号のようすをグラフに表したものです。次の各問いに答えなさい。ただし列車の長さは考えないものとします。
 
速さ4-1列車

(1)A駅とB駅の間のある地点でかずお君が列車の通過を見ていたところ、列車2号と列車3号が同時に通過していきました。かずお君のいる場所はA駅から何kmのところですか。
(2)A駅とB駅の間のある地点であきこさんが列車の通過を見ていたところ、列車1号が通過してから15分後に列車2号が通過していきました。あきこさんのいる場所はA駅から何kmのところですか。
(3)A駅とB駅の間のある地点でさとし君が列車の通過を見ていたところ、列車3号が通過してから列車1号が通過するまでの時間と列車1号が通過してから列車2号が通過するまでの時間が同じでした。さとし君のいる場所はA駅から何kmのところですか。
               (桜蔭中学校00年第3問)
 
 
(1)
列車2号の時速は、
 
200÷4=50km/時
 
列車3号の時速は、
 
200÷1=200km/時
 
50÷(200-50)=1/3(時間)
 
A駅から列車3号が1/3時間進んだ場所なので、
 
200×1/3=66・2/3
 
答えは、66・2/3kmです。
 
 
(2)
A駅での時差が2時間、B駅での時差が0なので、
 
120:15=8:1
 
200÷8=25
 
200-25=175
 
答えは、175kmです。
 
 
(3)
下の図を見てください。
 
速さ4-2列車
 
 
列車2号と列車3号の間に列車4号を仮定しましょう。
 
列車4号は3時半に出発し、時速80kmで進みます。
 
列車1号は3時半までに、
 
200÷6×2・5=83・1/3
 
83・1/3km進むので、
 
83・1/3÷(80-33・1/3)
=250/3÷140/3
=25/14(時間)
 
25/14×80=142・6/7
 
答えは、142・6/7kmです。
 
 
 
<速さ5>
下の図の四角形ABCDは正方形で、Oは対角線の交点です。4点P、Q、R、Sは、Oを同時に出発し、PとQは毎秒1cm、RとSは毎秒2cmの速さで、PはOA間、QはOB間、RはOC間、SはOD間を往復し続けます。ただし、対角線の長さは48cmとします。
つぎの問いに答えなさい。

(1)4点P、Q、R、Sが出発してから、初めてその4点が同時にOに戻るのは何秒後ですか。
(2)4点P、Q、R、Sを順に結んで四角形をつくるとき、
 ①四角形PQRSが初めて正方形になるのは、出発してから何秒後ですか。
 ②出発してから1時間後までに、四角形PQRSは何回正方形になりますか。
 
 
速さ5-四角形ABCD
 
 
                (桜蔭中学校96年第3問)
 
 
(1)
PとQがOに戻るのが48秒毎。
 
RとSがOに戻るのが24秒毎なので、
 
答えは、48秒後です。
 
 
(2)
12秒後を考えましょう。
 
PはAOの中間に、QはBOの中間に、RはCに、SはDにいますね。
 
そこから、PとQは外向きに、RとSは内向きに進むので、
 
12÷(2+1)=4
 
12+4=16
 
答えは、16秒後です。
 
 
48秒間を1区切りと考えられます。
 
48秒間に2回正方形になるはずなので、
 
3600÷48=75
 
75×2=150
 
答えは、150回です。
 
 
 
 
<比1>
物質Aを2gと物質Bを7g混ぜ合わせて熱すると、A、Bはすべて変化して物質Cが9gできることがわかっています。ある量のAとBを混ぜ合わせて熱したところ、Aの一部とBのすべてがCに変化してAとCだけになり、その中のAの割合は30%でした。これをよく混ぜて全体の15%を取り出し、B60gと混ぜ合わせて熱すると、AとBはすべて変化してCだけになりました。最初に混ぜ合わせた物質AとBの量はそれぞれ何gですか。答えは分数で書きなさい。
               (開成中学校94年第2問)
 
 
B60gがすべてAと結合したということは、
 
60×2/7=120/7
 
Aは120/7gあったはずです。
 
A:C=3:7だったので、
 
120/7×7/3=40
 
Cは40グラムあったはずです。
 
それらは全体の15%ずつだったので、
 
120/7÷15/100=800/7
40÷15/100=800/3
 
Aが800/7gでCは800/3gあったはずです。
 
その前を求めるには、Cを2:7に割ってAとBを出せばいいので、
 
800/7+800/3×2/9=800/7+1600/27=32800/189
800/3×7/9=5600/27
 
Aは32800/189g、Bは5600/27gとなります。
 
 
 
<比2>
ある地方にA町、B町、C町の3つの町があります。町の面積の比は3:5:2、人口の比は5:4:3です。もし、A町とB町が合併(がっぺい)すると人口密度が1km2あたり7065人の新しい町ができます。
A町とB町とC町が合併すると、人口密度は1km2あたり何人になりますか。
                (麻布中学校05年第1問)
 
 
人口を面積で割ると人口密度が出るので、合併後の人口密度の比は、
 
AB:C=9/8:3/2=3:4
 
Cの人口密度は、
 
7065÷3/4=9420
 
そこから、
 
(7065×8+9420×2)÷10=7536
 
答えは、7536人となります。
 
 
 
<比3>
水が氷になるとき、その体積は1/11だけ増えるとします。逆に氷が水になるとき、その体積はどれだけ減ることになりますか。分数で答えなさい。
               (麻布中学校00年第1問
 
 
水:氷=11:12
よって、
1-11/12=1/12
答えは、1/12です。
 
 
 
<比4>
上巻、下巻の2冊の本があり、下巻は上巻より8ページ多くなっています。1日目は上巻の1/3を読み、2日目は1日目より68ページ多く読みました。3日目は2日目よりも95ページ多く読むと、下巻の途中まで読み終わりました。残りは3日目に読んだページ数よりも14ページ少なく、4日目に全部読み終わりました。
 
(1)3日目には下巻の何ページまで読み終わりましたか。
(2)上巻、下巻はそれぞれ何ページですか。
               (雙葉中学校03年第6問)
 
 
(1)
1日目に読んだ量を①とすると、上巻は③、下巻は③+8となります。
 
そして、
 
1日目、①
2日目、①+68
3日目、①+163
4日目、①+149
 
だから、
 
①+①+68+①+163-③=231
 
答えは、231ページまでです。
 
 
(2)
①+①+68+①+163+①+149=④+380
 
④+380=⑥+8 となるので、
 
②=372
①=186
 
186×3=558
558+8=566
 
答えは、上巻が558ページ、下巻が566ページとなります。
 
 
 
<比5>
3種類の容器A、B、Cを使って直方体の水そうに水を入れます。Cの容積(Cに入る水の体積)は720cm3です。A45杯(はい)とB33杯では、水の深さは水そうの高さの半分になります。また、A20杯とB36杯では、水そうの高さの1/3になります。
 
(1)AとBの容積の比を整数で書きましょう。
(2)この水そうは、A14杯、B14杯、C11杯でいっぱいになります。水そうの容積は何cm3ですか。
               (雙葉中学校05年第5問)
 
 
(1)
(A×45+B×33)×2=(A×20+B×36)×3
 
A×90+B×66=A×60+B×108
 
したがって、
 
A×30=B×42
A×5=B×7
 
答えは、7:5です。
 
 
(2)
AとBの容積をそれぞれ7と5とすると、
 
(7×45+33×5)×2=960
 
直方体の水そうの容積は960になります。
 
960-7×14-5×14=792
 
792÷11=72(Cの容積、つまり720cm3
 
比の1が10cm3なので、
 
960×10=9600
 
答えは、9600cm3になります。
 
 
 
<比6>
容器Aは1辺の長さが4cmの立方体です。容器Bは高さが8cmで、たてと横の比が2:7の直方体です。
容器Aで15・3/4杯(はい)の水を容器Bに入れると、ちょうどいっぱいになりました。容器Bのたてと横はそれぞれ何cmですか。
(15・3/4は帯分数(15と3/4)を表します。)
               (雙葉中学校06年第2問)
 
 
4×4×4×15・3/4=1008
 
1008÷8=126
 
126=②×⑦
 
2×7=14
4×14=56
6×21=126
 
答えは、6cmと21cmです。
 
 
 
<比7>
同じ材料で作られた立方体と三角柱が合わせて56個あります。立方体の1辺は2cmです。また三角柱の高さは1.5cmで、底面は一つの角が直角で2つの辺が2cmの二等辺三角形です。立方体の重さの合計は、三角柱の重さの合計より126g重く、全部の立体の重さの合計は546gです。

(1)1個の立方体と1個の三角柱の重さの比を、最も簡単な整数の比で表すと□:□です。
(2)三角柱の重さの合計は□gです。
(3)1個の立方体の重さは□gです。
(4)三角柱は□個あります。
               (女子学院中学校02年第4問)
 
 
(1)
(2×2×2):(2×2÷2×1・5)=8:3
 
答えは、8:3です。
 
 
(2)
(546-126)÷2=210
 
答えは、210gです。
 
 
(3)
336:210=8:5
 
8×○:3×□=8:5
○+□=56
 
○:□=1:5/3=3:5
 
56÷(3+5)=7
 
7×3=21(立方体の数)
 
336÷21=16
 
答えは、16gです。
 
 
(4)
56-21=35
 
答えは、35個です。
 
 
 
<比8>
J子さんが10歩で歩く距離を、お母さんはいつも8歩で歩きます。
このとき、次の問いに答えなさい。
 
(1)J子さんとお母さんが手をつないで横に並んで歩くとき、J子さんが115歩進む間に、お母さんは何歩進みますか。
(2)J子さんが家を出て625歩進んだとき、お母さんは家を出て、いつもと同じ歩幅(はば)でJ子さんの1.5倍の速さで追いかけました。お母さんがJ子さんに追いつくのは、家を出てから何歩進んだときですか。
               (女子学院中学校05年第2問)
 
 
(1)
J子さんとお母さんの1歩の長さの比は、
 
1/10:1/8=4:5
 
だから、
 
4×115÷5=92
 
答えは、92歩です。
 
 
(2)
625×4=2500
 
1.5倍の速さなので、追いつくのはその3倍の距離のところですね。
 
2500×3=7500
 
7500÷5=1500
 
答えは、1500歩です。
 
 
 
<比9>
お楽しみ会の係になりました。予算の金額で、ジュースはちょうど90本買うことができます。サンドイッチならばちょうど36個、ケーキならばちょうど40個買うことができます。ジュース1本とサンドイッチ1個とケーキ1個を1組にして1人分にすると、予算内で全員分を買うことができ、お金は360円余ります。人数がもう1人多いと、予算では足りません。
 
(1)お楽しみ会の人数は何人ですか。
(2)予算はいくらですか。
               (女子学院中学校07年第2問)
 
 
(1)
ジュースとサンドイッチとケーキの値段の比は、
 
1/90:1/36:1/40=4:10:9
 
予算は、比の360ですね。
 
360÷(4+10+9)=15・・・⑮
 
答えは、15人です。
 
 
(2)
⑮=360
 
①=24(円)
 
24×360=8640
 
答えは、8640円です。
 
 
 
<速さと比1>
それぞれ一定の速さで走るおもちゃの車A、Bがあります。また、それらを走らせる図のような円形のコースが2つあり、その半径の比は4:5です。Aを外側、Bを内側のコースにおいて走らせると2台は同じ時間で1周します。
次に、Aを内側、Bを外側のコースに置き、スタートラインから同時に走らせました。
次の問に答えなさい。(式や考え方も書きなさい。)
 
(1)Aが内側をちょうど8周したとき、Bは外側の何周目を走っていますか。
(2)Bが(1)で求めた周を走り終えたとき、Aは最後にスタートラインを通過してから132cm進んでいました。内側のコースは1周何cmですか。 
 
 
速さと比1-円周
 
                (武蔵中学校08年第2問)
 
 
道のりの比が5:4で、時間の比が1:1なので、
 
(5÷1):(4÷1)=5:4
 
AとBの速さの比は5:4になります。
 
内側を8週するのだから、道のりは32になるので、
 
32÷5=6.4
 
Aが内側を走るのにかかる時間は6.4になります。
 
Bは4の速さで6.4の時間を進むので、
 
4×6.4=25.6
 
25.6の道のりを進むはずです。
 
25.6÷5=5.12
 
答えは、6周目になります。
 
 
(2)
6周目を走り終えるわけなので、道のりは30になり、
 
30÷4=7.5
 
7.5の時間になります。
 
Aは7.5の時間を5の速さで進むので、
 
5×7.5=37.5
 
道のりは37.5になります。
 
1周の道のりが4なので、
 
37.5÷4=9・・・1.5
 
9周してから1.5を進んだことになるので、
 
132÷1.5×4=352
 
答えは、352cmになります。
 
 
 
<速さと比2>
ある池の周りをA君とB君は同じ方向に、C君は逆方向に、それぞれ一定の速さで回ります。A君はB君を15分ごとに追いこし、B君はC君と2分ごとに出会います。B君が7分かかって走る距離(きょり)をC君は8分で走ります。このとき、A君とC君の速さの比を求めなさい。
               (麻布中学校07年第2問)
 
 
B君とC君の速さの比は8:7ですね。
 
そこから、池の周りの道のりが30と分かります。
 
A君はB君を15分後ごとに追いこすので、A君の速さは
 
30÷(A-8)=15
A=10
 
答えは、10:7です。


<速さと比3> 

兄と妹は池の周りをA地点から同時に反対方向にまわり始めました。兄は自転車で、妹は犬をだいて歩きました。途中で犬は妹から離(はな)れて走り出し、その1分後に兄と犬が出会いました。出会った場所は、兄が1周の3/5進んだB地点です。兄の自転車の速さ、妹の歩く速さ、犬の走る速さの比は4:2:5です。兄がB地点についたのは、出発してから何分何秒後ですか。(式と計算と答え)
               (雙葉中学校07年第4問)
 
 
妹の速さは兄の1/2なので、兄が1周の3/5を進んだ時、妹は1周の3/10進んだはずです。
 
犬は「1周の1/10と妹が1分で歩く距離」を1分で進んだはずです。
 
妹と犬の速さの比は2:5なので、妹が1分で歩く距離を犬は2/5分で走るから、
 
犬は1周の1/10の距離を3/5分で進むことになります。
 
つまり、犬は6分で1周するのです。
 
兄と犬の速さは4:5なので、
 
5:4=○:6
○=7.5
 
兄は7.5分で1周するので、
 
7.5×3/5=4.5
 
答えは、4分30秒です。
 

<速さと比4>
水泳1.5km、自転車40km、ランニング10kmを順に行なってかかった時間を競(きそ)うレースに、J選手とG選手が参加した。
 
(1)J選手の水泳のタイムは20分50秒だった。J選手の水泳の分速は[  ]mである。J選手の水泳と自転車の分速の比は3:20だった。J選手の自転車のタイムは[  ]時間[  ]分[  ]秒である。
(2)G選手は、J選手より5分20秒遅(おく)れてランニングを始めた。ランニングは、G選手のほうがJ選手より毎分32m速かったので、G選手はランニングに入って34分40秒後にJ選手に追いついた。J選手とG選手のランニングの分速の比は[  ]:[  ]である。G選手のランニングの分速は[  ]mである。
G選手がJ選手に追いついたのは、ゴールまで[  ]mのところである。
(3)G選手の3つの種目のタイムの合計は[  ]時間[  ]分[  ]秒である。
               (女子学院中学校08年第4問)
 
 
(1)
1500÷20・5/6=72
 
J選手の水泳の分速は、72mです。
 
72÷3/20=480
 
40000÷480=83・1/3
 
J選手の自転車のタイムは、1時間23分20秒である。
 
 
(2)
J選手が走ったのが、
 
5分20秒+34分40秒=40分
 
G選手が走ったのが、34分40秒。
 
道のりが一定なので、時間の比と速さの比が逆比になり、
 
34・2/3:40=104:120
 
J選手とG選手のランニングの分速の比は、13:15になります。
 
比の2が分速32mなので、
 
32÷2×15=240
 
G選手のランニングの分速は240mです。
 
10000-240×34・2/3=1680
 
G選手がJ選手に追いついたのは、ゴールまで1680mのところです。
 
 
(3)
J選手の水泳のタイムは20分50秒で、自転車のタイムは1時間23分20秒なので、
 
20分50秒+1時間23分20秒+5分20秒+10000÷240
 
=1時間49分30秒+41分40秒
 
G選手の3つの種目のタイムの合計は、2時間31分10秒です。
 

 
 
 
 
 

 

 

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