中学受験　算数

＜立体図形１＞

図のようなたて５cm、横８cm、高さ６cmの直方体があり、図で見えている３つの面は赤、見えていない３つの面は青にぬられています。この直方体を図の点線にそって、１辺が１cmの立方体に切り分けました。次の問に答えなさい。（計算も書きなさい）
 

（１）どの面にも色がぬられていない立方体は、全部でいくつありますか。
（２）青がぬられていて、赤がぬられていない立方体は、全部でいくつありますか。
（３）赤と青の両方がぬられている立方体は、全部でいくつありますか。また、これらの立方体のうち、色がぬられていない面の面積の合計は何cm²ですか。

　　　　　　　　　　　　　　　（武蔵中学校０６年第１問）

（１）

表面に現れない部分ですから、各辺から２cmずつ引けばいいわけです。

３×６×４＝７２

答えは、７２個です。

（２）

青と赤を置きかえても同じなので、下の図の色のついている箇所が答えです。  

したがって、

５×７＋３×７＋３×４＝６８

答えは、６８個です。

（３）

両方ぬられているのは、上の図の白い部分ですね。

（７＋５＋４）×２＝３２

答えは、３２個です。

これらの立方体のうち、色がぬられていない面の面積の合計は、

２６個が２つの面に色をぬられ、６個が３つの面に色をぬられているから、

２６×４＋６×３＝１２２

答えは、１２２cm²となります。

＜立体図形２＞

右下の図のような、ＡＢ＝２０cm、ＡＤ＝１３cmの直方体があります。３点Ｐ、Ｑ、Ｒはそれぞれ辺ＣＤ、ＦＧ、ＡＥ上の点です。この直方体を面ＡＢＣＤに垂直な方向（ア）から見ると、三角形ＰＱＲは角Ｐが直角の直角二等辺三角形に見えました。また、この直方体を面ＤＣＧＨに垂直な方向（イ）から見ると、三角形ＰＱＲは角Ｒが直角の直角二等辺三角形に見えました。

（１）ＤＰの長さは何cmですか。
（２）ＤＨの長さは何cmですか。


　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校０３年第１問）

（１）

下の図のようになりますね。

三角形ＥＨＰと三角形ＰＧＱは合同なので、

答えは、７ｃｍです。

（２）

下の図のようになります。

三角形ＡＰＲと三角形ＥＲＦは合同なので、

ＡＲが２０ｃｍで、ＲＥが７ｃｍなので、

答えは、２７ｃｍになります。

＜立体図形３＞ 

下の図のような直方体があります。Ｉは辺ＦＧ上にある点で、ＡＢ＝１cm、ＡＤ＝６cm、ＡＥ＝２cm、ＧＩ＝１．５cmとなっています。３つの点Ａ、Ｈ、Ｉを通る平面が、辺ＢＦと交わる点をＪ、辺ＥＦを延長した線と交わる点をＫとします。
 

（１）ＦＪ、ＦＫの長さを求めなさい。
（２）（ア）４つの点Ａ、Ｅ、Ｈ、Ｋを結んでできる三角すいの展開図をできるだけ正確にかきなさい。ただし、三角形ＡＥＨはすでにかかれているので、それに続けて解答用紙の定められたわくからはみ出さないようにかくこと。
　　（イ）４つの点Ａ、Ｈ、Ｉ、Ｊを結んでできる四角形の面積を求めなさい。
 

なお、（２）（ア）の解答用紙は次のようになっていました。

　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校０７年第４問）

（１）

下の図を見てください。

三角形ＫＥＨと三角形ＫＦＩが相似であり、ＥＨが６ｃｍで、ＦＩが４．５ｃｍなので、

ＫＥ：ＫＦ＝４：３

ＥＦが１ｃｍなので、

ＦＫは、３ｃｍです。

三角形ＫＥＡと三角形ＫＦＪも相似で、相似比は４：３なので、

２×３/４＝１．５ｃｍ

ＦＪは、１．５ｃｍです。

（２）

（ア）

次のようになります。

ＥからＫに直角に４ｃｍ伸びていることが分かればできるでしょう。

（イ）

三角形ＫＪＩ：三角形ＫＡＨ＝９：１６

四角形ＡＨＩＪの面積＝三角形ＫＡＨの面積×（１６－９）/１６

三角形ＫＡＨの面積は、（ア）の展開図を利用して、１辺６cmの正方形の面積から３つの直角三角形の面積なので、

６×６－（２×４＋４×６＋２×６）÷２＝１４cm²

そして、

１４×７/１６＝６・１/８

答えは、６・１/８cm²です。

＜立体図形４＞ 

下の図のように、水平な地面に直方体のコンクリートブロックと地点Ａから垂直に立つ街灯（がいとう）があります。街灯（がいとう）に明かりがついたときに、地表上にできる影の部分（コンクリートブロックの置いてある地面をのぞく）を真上から見た様子を、解答欄（らん）に斜線（しゃせん）を付けて示し、その面積を求めなさい。ただし下の図の数字の単位はすべてｍとします。

　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校０８年第２問）

下の図を見てください。

黄色の部分を求めるわけです。

色をつけた部分の台形の面積－（薄紫色と灰色の部分の台形の面積）
 

９．６×１．５＝１４．４（台形の上底）

１４．４－３×１．５＝９．９（台形の下底）

３×４÷２＝６（薄紫色の面積）

６．６×４＝２６．４（灰色の面積）

（１４．４＋９．９）×６÷２－（６＋２６．４）

＝７２．９－３２．４
＝４０．５
 

答えは、４０．５ｍ²となります。

＜立体図形５＞ 

たて３cm、横４cm、高さ５cmの直方体があります。この直方体の面のうち、２辺の長さが
　　３cmと４cmの長方形の面を面Ａ、
　　４cmと５cmの長方形の面を面Ｂ、
　　５cmと３cmの長方形の面を面Ｃ、
とします。次の問いに答えなさい。
 

（１）この直方体を面Ａ、面Ｂ、面Ｃに平行な面で、それぞれ１回、１回、２回切って、小さな直方体をつくります。
　　①小さな直方体は何個できますか。
　　②これらの小さな直方体の表面積の合計を求めなさい。ただし、直方体の表面積とは、その直方体のすべての面の面積の和のことです。
（２）この直方体を面Ａ、面Ｂ、面Ｃに平行な面でそれぞれ[　ア　]回、[　イ　]回、[　ウ　]回切ったところ、小さな直方体が９０個でき、これらの直方体の表面積の合計は４６２cm²でした。
[　ア　]、[　イ　]、[　ウ　]に当てはまる数を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校０８年第５問）

（１）

①

同じ方向に１回切れば２倍に、２回切れば３倍になるので、

２×２×３＝１２

答えは、１２個になります。

②

初めの表面積が、

（３×４＋４×５＋５×３）×２＝９４cm²ですね。

面Ａに平行な面で１回切ると、

３×４×２＝２４cm²増え、

面Ｂに平行な面で１回切ると、

４×５×２＝４０cm²増え、

面Ｃに平行な面で１回切ると、

５×３×２＝３０cm²増えるので、

９４＋２４＋４０＋３０×２＝２１８

答えは、２１８cm²です。

（２）

（１）の答えから、

（ア＋１）×（イ＋１）×（ウ＋１）＝９０

９４＋２４×ア＋４０×イ＋３０×ウ＝４６２

したがって、

２４×ア＋４０×イ＋３０×ウ＝３６８

アは２か７のどちらかですね。

アが７の場合、

９０÷８では割れないので、条件を満たしません。

アが２であることが決定し、

（イ＋１）×（ウ＋１）＝３０

４０×イ＋３０×ウ＝３２０

イが５でウが４であれば条件を満たします。

イが２でウが８では、ダメですね。

答えはア＝２、イ＝５、ウ＝４、となります。

＜立体図形６＞  

図の直方体の３つの面（あ）、（い）、（う）のうちの１つの面の中央から反対側の面まで直方体をくりぬきました。くりぬいてできた穴の形は、たて３cm、横６cmの長方形でした。直方体をくりぬいたあとの立体の体積は、もとの直方体の体積より１５％減りました。次の問いに答えなさい。
 

（１）直方体の（あ）、（い）、（う）のどの面に穴をあけましたか。記号で答えなさい。
（２）直方体をくりぬいたあとの立体の表面積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校９６年第４問）

（１）

全体の体積の１５％は、

１２×１０×７×１５/１００＝１２６m^３

そこから、

３×６×○＝１２６

○＝７

答えは、（う）です。

（２）

もとの表面積が、

（１０×７＋７×１２＋１２×１０）×２＝５４８m^２

５４８－１８×２＋（３×７＋６×７）×２＝６３８

答えは、６３８m²です。

＜立体図形７＞ 

 底面の半径が３cmで、高さが１０cmのふたのない円柱の容器に、水が高さ８cmまで入っています。この容器を４５゜傾けると水は何cm³こぼれますか。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校０１年第４問）

下の図を見てください。

もう簡単ですね。

３×３×３．１４×（８－７）＝２８．２６

答えは、２８．２６cm³です。

＜立体図形８＞  

１辺が３０cmの立方体の形をした氷が円柱形の水そうにぴったりと入っています。図は上から見たものです。
この氷がすべてとけて水になるとき、水そうにたまる水の深さは何cmですか。小数第２位を四捨五入して小数第１位まで答えましょう。水が氷になるとき、体積は１．１倍になります。円周率は３．１４です。（式と計算と答え）

　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０２年第３問）

３０×３０×３０÷１．１＝２７００００/１１

円の半径×半径は正方形の面積の半分なので、

２７００００/１１÷（４５０×３．１４）

＝２７０００００÷１５５４３＝１７．３７・・・・・・

答えは１７．４cmです。

＜立体図形９＞  

図のような直方体の水そうがあります。その中に４枚の長方形の板が等間隔（とうかんかく）にまっすぐ立っています。板の横の長さは３５cm、縦の長さは左から順に２９cm、１４cm、１８cm、１１cmです。水そうと板の間にすき間はなく、板の厚さは考えません。この空（から）の水そうに毎分０．２１ℓ の割合で水を入れると６時間４８分２０秒後にいっぱいになりました。
 

（１）水そうの深さは何cmですか。（式と計算と答え）
（２）水そうの底の○のところに穴をあけると、毎分７５cm³の割合で水が流れ出ます。水が流れなくなるのは、穴をあけてから何時間何分何秒後ですか。（式と計算と答え）


　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０８年第４問）

（１）

６×６０＋４８・１/３×２１０＝８５７５０cm³

８５７５０÷（３５×５０）＝４９

答えは、４９cmです。

（２）

穴の影響を受けない容積は、

３５×１０×２９＋３５×２０×１８＋３５×１０×１１

＝３５×７６０

＝２６６００

よって、

（８５７５０－２６６００）÷７５＝７８８・２/３

答えは、１３時間８分４０秒後です。

＜立体図形１０＞  

たて２５cm、横３２cm、深さ２３cmの水そうに深さ１０cmまで水が入っています。底面が１辺５cmの正方形で高さが２１cmの直方体の重りを正方形の面が水そうの底に付くように１本ずつ入れます。
 

（１）何本目の重りを入れると、水そうに入っているすべての重りが初めて水面より下になりますか。
（２）１本目の重りを入れたとき、水面は何cm上がりますか。
（３）１３本目の重りを入れたとき、水の深さは何cmになりますか。

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０５年第４問）

（１）

水の体積は、

２５×３２×１０＝８０００cm^３

 水の高さが２１㎝をこえる状態を求めればいいので、

 ８０００÷２１＝３８０．９５・・・・・・

 底面積が３８０cm²を下回るには、

 ８００－２５×○

○が１７以上になればいいので、

答えは、１７本です。

（２）

底面積が８００cm²から７７５cm²になるので、

８０００÷７７５－１０＝１０/３１

答えは、１０/３１cmです。

（３）

８００－１３×２５＝４７５

８０００÷４７５＝１６・１６/１９

答えは、１６・１６/１９cmです。

＜立体図形１１＞ 

右の図のような展開図を組み立てて、ふたのない入れ物を作ります。ただし、四角形イオクサは正方形です。入れ物をそれぞれ（１）～（３）のように固定して、上から水をちょうどいっぱいになるまでそそぎます。このとき水が入っている部分の立体の種類を番号①～⑤から選び、その体積を求めなさい。（面の厚みは考えなくてよい。）
 

（１）イ、オ、ク、サを通る平面が水平になるように固定する。
（２）ア、カ、キ、シを通る面を考えたとき、その面が水平になるように固定する。
（３）ケ、サ、イ、エを通る面を考えたとき、その面が水平になるように固定する。
 

　　①直方体　②三角柱　③三角すい　④四角すい　⑤①～④以外の立体

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校９８年第４問）

（１）

下の図のようになります。

①ですね。

５×５×６＝１５０

答えは、１５０cm^３です。

（２）

⑤です。

満水になります。

５×５×（８．４＋６）÷２＝１８０

答えは、１８０cm^３です。

（３）

②です。

５×６÷２×５＝７５

答えは、７５cm^３です。

＜立体図形１２＞  

１辺の長さが６cmの立方体があります。正面から見たとき図１の斜（しゃ）線の部分となるように、四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。次にま横から見たとき図２の斜線の部分となるように、側面に垂直にもとの立体の反対側の面までくりぬき、穴をあけます。このとき、次の問いに答えなさい。
 

（１）できた立体の体積はもとの立方体の体積より何cm³小さいですか。
（２）できた立体の表面積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０８年第４問）

（１）

下の図のようになりますね。 

４×６×２－２×２＝４４（２×２は引きすぎた部分）

答えは、４４cm³です。

（２）

下の図のようになりますね。

上下が、

６×６×２＝７２

側面が、

（３６－４）×４＝１２８

内側の黄色の部分が、側面４方向から見て、

１０×４＝４０

内側を上下から見て、十字型が２つになり、

２０×２＝４０

７２＋１２８＋４０＋４０＝２８０

答えは、２８０cm²です。

＜立体図形１３＞  

１辺の長さが２０cmの立方体から、底面が正方形の四角柱をくりぬいて、図のような立体（あ）を作ります。
次の□にあてはまる数を入れなさい。
 

（１）立体（あ）のすべての面の面積をたすと□cm²です。
（２）立体（あ）から、さらに同じように円柱を後ろまでくりぬいて、下図のような立体（い）を作ります。

　円周率を３．１４とすると、立体（い）の体積は□cm³、
　立体（い）のすべての面の面積をたすと□cm²です。

　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校０３年第４問）

（１）

２０×２０×６

－１０×１０×２

＋１０×２０×４

＝２４００－２００＋８００

＝３０００

答えは、３０００cm²です。

（２）

下の図のように切って考えましょう。

ＡとＣの体積は、

（２０×２０－５×５×３．１４）×１０＝３２１５

Ｂの体積は、

５×１０×２０×２＝２０００

よって、

３２１５＋２０００＝５２１５

体積は、５２１５cm³です。

ＡとＣの表面積は、

５×２０×８

＋（２０×２０－５×５×３．１４）×２

＋１０×３．１４×１０

＋（１０×２０－５×５×３．１４）×２

＝８００＋８００＋４００＋３．１４×（１００－１００）

＝２０００

Ｂの表面積は、

１０×２０×４＋１０×５×４

＝８００＋２００

＝１０００

したがって、

２０００＋１０００

答えは、３０００cm²です。

＜立体図形１４＞ 

 図のように、たて３０cm、高さ２０cmの水そうの底に、たて３０cmの鉄でできた直方体が２本置いてあります。グラフはこの水そうに一定の割合で水をいれたときの時間と水面の高さとの関係を表しています。

　図の（あ）の長さは□cm、（い）の長さは□cm、（う）の長さは□cmです。
　また、１分間に入れた水の量は□cm³です。

　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校０４年第４問）

（あ）は１２cmですね。

４×い＝③

８×（い＋う）＝⑭

８×（１２＋い＋う）＝⑳

よって、

（い）：（い＋う）：（１２＋い＋う）＝３：７：１０＝１２cm：２８ｃｍ：４０ｃｍ

（い）は１２ｃｍ、（う）は１６cmです。

３０×（１２＋１２＋１６）×２０＝２４０００（直方体の体積）

（１２×１２＋４×１６）×３０＝６２４０

（２４０００－６２４０）÷３７＝４８０

答えは、４８０cm³です。