中学受験　算数

＜旅人算１＞

太郎君、次郎君の２人はそれぞれ一定の速さで山登りをしました。２人は同時に登山口（とざんぐち）を出発し、太郎君は時速１・１/４kmで登りました。太郎君が頂上に着いてから３２分後に、次郎君が頂上に着きました。太郎君が頂上に着いてから１時間後に、来た道を２人でいっしょに下りました。下るときの速さは次郎君が登るときの速さの１・２/３倍で、２人が登山口にもどったのは登りはじめてから９時間後でした。　登山口から頂上までの道のりは何kmですか。また、次郎君が登るときの速さは時速何kmですか。（式や説明も書きなさい）

　　　　　　　　　　　　　　　（武蔵中学校０５年第２問）

次郎君は、登ったあと２８分休んで、１・２/３倍の速さで下ったわけです。

次郎君が移動したのは、８時間３２分と分かります。

道のりが一定で、速さの比が３：５ですから、時間の比は５：３のはずです。

つまり、５１２分を５：３にするわけですから、

５１２×５/８＝３２０

５１２×３/８＝１９２

次郎君は、登りに３２０分、下りに１９２分かかったのです。

太郎君は次郎君よりも３２分早く頂上に着いたので、太郎君は２８８分かかったはずです。

つまり、

１・１/４×４・４/５＝６

登山口から頂上までの道のりは、６kmとなります。

６÷５・１/３＝１・１/８

次郎君が登るときの速さは、１・１/８km／時となります。

＜旅人算２＞ 

さとし君の家から上り坂を上ったところに図書館があります。さとし君はこの坂を、上りは分速５０ｍで、下りは分速７５ｍで歩きます。坂の途中（とちゅう）には郵便局があり、そこから９０ｍ坂を上ったところには中学校があります。

ある日、さとし君は家から図書館に向かいましたが、郵便局まで来たところで忘れ物をしたことに気づき、すぐに家に引き返して忘れ物をとり、すぐに図書館に向かいました。そのため、図書館に着くまでに、予定の時間の２．１倍かかってしまいました。
そしてその日の帰り道、中学校まで来たところで、さとし君は忘れ物をしたことに気づき、すぐに図書館に引き返して忘れ物をとって、すぐに家に向かいましたが、家に着くまでに、予定の時間の１．７倍かかってしまいました。
さとし君の家と図書館の間の道のりは何ｍですか。また、さとし君の家と郵便局の間の道のりは何ｍですか。

　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校０６年第２問）

下の図を見てください。

さとし君が２．１倍の時間がかかったのは、郵便局まで上った時間とそこから家に下った時間によります。

よって、家から図書館までにかかる時間の１．１倍が、家と郵便局の往復なので、

１．１×７５/１２５＝０．６６（上りの時間）

１．１×５０/１２５＝０．４４（下りの時間）

したがって、さとし君の家から郵便局までは全体の道のりの０．６６倍ということになります。

同様に、

０．７×５０/１２５＝０．２８（下りの時間） 

０．７×７５/１２５＝０．４２（下りの時間）

よって、図書館から中学校までの道のりは、全体の０．２８倍と分かります。

０．６６＋０．２８＝０．９４

全体の道のりの０．０６が９０ｍになるので、

９０÷０．０６＝１５００

さとし君の家と図書館の間の道のりは、１５００ｍになります。

そして、

１５００×０．６６＝９９ 

さとし君の家と郵便局の間の道のりは、９９０ｍになります。

＜旅人算３＞ 

Ａ駅とＢ駅の間にＣ駅があります。ある列車ＸはＡ駅を２３時１０分に発車し、途中（とちゅう）のＣ駅に翌日２時１０分につきます。２０分停車した後、Ｃ駅を２時３０分に発車して、Ｂ駅に６時１０分に着きます。列車は一定の速さで走るものとして、次の問いに答えなさい。
 

（１）この列車の時速は、Ａ駅とＢ駅の距離（きょり）を、かかった７時間で割った値より、１時間あたり２．６７５km大きくなりました。Ａ駅とＢ駅の距離は何kmですか。
（２）列車Ｘと同じ時速の列車ＹがＢ駅からＡ駅に向けて２２時１０分に発車しました。しかし、途中で故障したため、１０分間停車しました。運転を再開した後は８０％の速さでしか走れなかったため、Ｃ駅には翌日２時３０分に着きました。列車Ｙが故障した地点はＢ駅から何kmのところですか。

　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校０８年第３問）

（１）

ＡＣ間を３時間で、ＣＢ間を３時間４０分で移動したことになるので、

移動時間は６・２/３時間です。

見かけの速さと実際の速さの比は、

６・２/３：７＝２０：２１

比の１が時速２．６７５kmとなり、実際の速さは、

２１×２．６７５＝５６．１７５ｋｍ／時

実際の移動時間は６・２/３時間なので、

５６．１７５×６・２/３＝３７４．５

答えは、３７４．５ｋｍです。

（２）

まず、ＣＢ間の距離を求めましょう。

５６．１７５×３・２/３＝２０５．９７５ｋｍ

列車ＹがＣ駅に着くまでにかかった時間が４時間２０分で、実際に移動したのは４時間１０分ですね。

２０５．９７５÷{（○×５６．１７５）＋（△×４４．９４）}

○＋△＝４・１/６

つるかめ算です。

４・１/６×５６．１７５－２０５．９７５＝２８．０８７５

２８．０８７５÷（５６．１７５－４４．９４）＝２．５

故障後の移動時間は２．５時間なので、故障するまでの時間は、

４・１/６－２・１/２＝１・２/３

Ｂからの距離は、

５６．１７５×１・２/３＝９３．６２５

答えは、９３．６２５ｋｍです。

＜旅人算４＞

 よし子さんとみち子さんの２人がＡ町から３．２kmはなれたＢ町へ向かいました。２人は同時にＡ町を分速４８mで出発しました。出発して１５分後に、よし子さんは忘れ物に気づきＡ町に分速１００mでもどることにし、みち子さんはＢ町へ分速４０mで向かうことにしました。よし子さんは、Ａ町で忘れ物をとってすぐＢ町へ分速６０mで向かいました。よし子さんがみち子さんに追いついたのは、Ｂ町から何m手前でしたか。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校９６年第３問）

よし子さんがＡ町で忘れ物をとってすぐＢ町へ向った瞬間を考えましょう。

４８×１５÷１００＝７．２

１５＋７．２＝２２．２

出発から２２．２分後ですね。

その時、みち子さんが進んだ距離は、

４８×１５＋４０×７．２＝１００８

そこからは、単純な旅人算ですね。

１００８÷（６０－４０）＝５０．４

５０．４×６０＝３０２４

３２００－３０２４＝１７６

答えは、１７６ｍです。

＜旅人算５＞

ある鉄道線には、普通電車と急行電車が走っています。次の問いに答えなさい。
 

（１）普通電車は、すべての駅に停車し、始発駅から終着駅まで１時間２０分かかります。また、駅から次の駅までの間を３分間で走り、とちゅうの駅では３０秒間停車します。この鉄道線の駅は全部でいくつありますか。
（２）急行電車は、いくつかの駅を通過し、始発駅から終着駅まで５０分間かかります。また、停車するしないに関係なく駅から次の駅までの間を２分間で走り、停車する駅では４０秒間停車します。通過する駅はいくつありますか。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校９７年第３問）

（１）

始発駅と終着駅を除いた駅の数を○として式にしてみましょう。

３×（○＋１）＋０．５×○＝８０

○×３．５＋３＝８０

○×３．５＝７７

○＝２２

答えは、２４個です。

（２）

途中停車する駅の数を△に式にしてみましょう。

２×（２４－１）＋２/３×△＝５０

４６＋２/３×△＝５０

２/３×△＝４

△＝６

始発駅と終着駅を除いた駅が２２個で、途中停車する駅が６個となり、

２２－６＝１６

答えは、１６個です。

＜旅人算６＞ 

Ａさんの家からＢさんの家までの道のりは９６０ｍです。
２人は、昨日も今日もそれぞれの家から相手の家へ向かって歩きました。Ａさんは、昨日も今日も同じ時刻に出発しました。
昨日、ＢさんはＡさんよりも後に出発し、２人はＡさんの家から６４８ｍの所で出会いました。今日は、Ｂさんは昨日よりさらに５分遅く出発し、２人はＡさんの家から７６８ｍの所で、昨日より３分遅い時刻に出会いました。
２人の歩く速さは、それぞれいつも一定でした。
 

次の問いに答えなさい。
（１）ＡさんとＢさんの歩く速さはそれぞれ分速何ｍですか。（求め方）
（２）昨日、ＢさんはＡさんの何分後に出発しましたか。（求め方）

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校０８年第３問）

（１）

まず、Ａさんを基準に考えましょう。

 ３分遅い時間に昨日より１２０ｍ進んだところまで行ったので、Ａさんの速さは分速４０ｍだと分かりますね。

Ｂさんは出会うまでの時間が２分少なく、１２０ｍ短い距離を歩いたので、Ｂさんの速さは分速６０ｍだと分かります

答えは、Ａ孤さんは分速４０ｍ、Ｂ子さんは分速６０ｍです。

（２）

昨日、出会った時間はＡさんが出発して、

６４８÷４０＝１６・１/５ 

１６・１/５分になります。

それまでにＢさんが歩いた時間は、

（９６０－６４８）÷６０＝５・１/５ 

よって、

１６・１/５－５・１/５＝１１

答えは、１１分です。

＜旅人算７＞ 

２つのバス停ＡとＢの間にある銀行に行くのに、Ａでバスを降りて歩いていくより、Ｂまでバスに乗って、歩いてもどったほうが４５秒早く着きます。銀行はバス停Ａから何ｍのところにありますか。
ＡとＢの間の道のりは２１００ｍ、バスの速さは毎分７００ｍ、歩く速さは毎分７２ｍです。

　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０２年第１問）

下の図を見てください。

ＡＢ間をバスは、

２１００÷７００＝３

３分間で行くので、Ａから銀行までよりもＢから銀行までの方が、

３×６０＋４５＝２２５

２２５秒早く着くことになるはずです。

つまり、（あ）は（う）よりも２２５秒長くかかるわけです。

７２×２２５/６０＝２７０ｍ 

（２１００＋２７０）÷２＝１１８５

答えは、１１８５ｍです。

＜旅人算８＞ 

太郎と次郎がＡ地点を同時に出発してＦ地点までマラソンをします。それぞれの分速は表のとおりです。

（１）二人はそれぞれ何分何秒でＣ地点を通過しますか。（式と計算と答え）
（２）太郎と次郎のどちらが何秒早くＥ地点を通過しますか。（式と計算と答え）
（３）太郎が次郎より１３秒早くゴールしました。Ｅ地点からＦ地点まで何kmですか。（式と計算と答え）

　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０４年第２問）

（１）

３２００÷２５０＋６３０÷２７０

＝１２・４/５＋２・１/３

＝１５・２/１５

３２００÷２４０＋６３０÷３００

＝１３・１/３＋２・１/１０

＝１５・１３/３０

 答えは、太郎は１５分８秒、次郎は１５分２６秒です。

（２）

Ｃ地点からＥ地点までかかる時間を出しましょう。

８００÷２５０＋９００÷１８０

＝３・１/５＋５

＝８・１/５

８００÷２４０＋９００÷２００

＝３・１/３＋４・１/２

＝７・５/６

８・１/５－７・５/６

＝１９/３０

＝２２秒（次郎のほうが早い）

２２－１８＝４ 

答えは、次郎の方が４秒早い。

（３）

４＋１３＝１７

ＥＦ間を太郎が次郎よりも１７秒早く進んだはずです。

速さの比が２５：２４で、道のりが一定なので、太郎がＥＦ間を走るのにかかった時間は、

１７×２４＝４０８（秒）

４０８/６０×２５０＝１７００

答えは、１．７ｋｍです。

＜旅人算９＞ 

春子と夏子はＡを同時に出発し、Ｄに行きました。春子はＡからＣまで太郎の運転する車に乗り、ＣからＤまで歩きました。夏子は、はじめは歩き、Ｂで、Ｃから折り返してきた太郎の車に出会いました。夏子は太郎の車に乗ってＢからＤに向かい、春子より１６分速くＤに着きました。ＡからＢまでは３km、２人の歩く速さは分速７０ｍ、車の速さは時速３７．８kmです。車の乗り降りの時間は考えません。
 

（１）ＡからＣまでは何kmですか。（式と計算と答え）
（２）ＣからＤまでは何kmですか。（式と計算と答え）

　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０８年第５問）

（１）

車の速さを分速にすると、

 ３７．８×１０００÷６０＝６３０（ｍ／分） 

歩く速さと車の速さの比は、１：９ですね。

夏子はＢで太郎の車に出会ったのだから、ＡＢ間の距離を１とすると、ＡＣ＋ＢＣは９になり、ＡＣ間は５になります。

したがって、 

３×５＝１５

答えは、１５kmです。

（２）

春子がＣＤ間を歩く間に、車はＢＣ間を往復し、ＣＤ間を進み、１６分間Ｄで春子を待ったことになります。

歩く速さと車の速さの比が１：９で、ＢＣ間が１２kmなので、

１２０００×２＋ＣＤ＋１６×６３０＝３４０８０＋ＣＤ・・・⑨

ＣＤ・・・①

３４０８０÷８＝４２６０

答えは４．２６ｋｍです。

＜旅人算１０＞ 

Ａ駅からＨ駅まで４kmごとに駅があります。時速４０kmの各駅停車の電車はＡ駅を出発してＨ駅に向かいます。この電車は各駅に１分ずつ停車します。また時速６０kmの特急電車はＨ駅を出発してどの駅にも止まらずにＡ駅に向かいます。３時に、２つの電車がそれぞれＡ駅、Ｈ駅を出発しました。つぎの□をうめなさい。

（１）各駅停車の電車がＣ駅を発車するのは３時□分です。
（２）各駅停車の電車が特急電車と出会うのは３時□分です。

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校９５年第３問）

（１）

４÷４０×６０＝６分（各駅停車の電車が一駅分進むのにかかる時間）

６＋１＋６＋１＝１４

答えは、１４です。

（２）

４÷６０×６０＝４分（特急電車が一駅進むのにかかる時間）

３時１４分には、各駅停車の電車はC駅を出発し、特急電車はD駅とE駅の中間にいます。

３時１６分には、各駅停車の電車はC駅とD駅の間（１：２の場所）にいて、特急電車はD駅にいます。

４×２/３÷（４０＋６０）×６０＝１．６

答えは、１７．６です。

＜旅人算１１＞ 

最初が平らな道、中間が山道、最後が平らな道である全長１０kmの徒歩コースがあります。このとき次の問いに答えなさい。
 

（１）このコースを、平らな道は毎時６km、山道は毎時４kmで進むとあわせて１時間５２分かかります。コース中間の山道は何kmですか。
（２）最初（１）の速さで進み、ある地点からその後ずっと速さを（１）の半分にして進むと、２時間１０分かかります。ただし、速さを変える地点は平らな道の上とします。速さを変える地点は、コースの出発地点から何kmのところですか。

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校１０年第３問）

（１）

つるかめ算ですね。

平らな道を歩く時間を○、山道を歩く時間を□とすると、

○×６＋□×４＝１０

○＋□＝１・１３/１５

○＝１・１３/１５－□

（１・１３/１５－□）×６＋□×４＝１０

１１・１/５－□×２＝１０

□×２＝１・１/５

□＝３/５

３/５×４＝２・２/５

答えは、２・２/５kmです。

（２）

１１２分が１３０分になるのですから、

１３０－１１２＝１８

１１２－１８＝９６

９６分の所で速さを変えたはずです。

１８/６０×４＝１・１/５（山道の２・２/５kmよりも短い）

２回目の平らな道で速さが変わったことが分かります。

よって、

１０－１８/６０×６＝８．２

答えは、８．２kmです。

＜時計算１＞ 

Ａ君とＢ君は、ある朝、その日の夕方５時に会う約束をしました。そのとき２人の時計は、ともにちょうど９時を指していました。Ａ君が自分の時計で４時５５分に約束の場所に行くと、Ｂ君はすでに来ており、自分の時計を見て言いました。
Ｂ：「ちょうど５時だね。」
Ａ：「おかしいな。ぼくは５分前に来て、君を待ってようと思ったのに。」
Ｂ：「きみの時計は遅れてるんじゃないの。」
Ａ：「そんなことはないよ。ぼくは今日の正午の時報で、時計が正確に合っているのを確かめたんだ。君の時計が進んでいるんだよ。」
Ｂ：「そうかなあ。ぼくは昨夜９時の時報に時計を合わせたんだけどなあ。」
 

２人の時計はそれぞれ一定の速さで動いているものとして、次の問いに答えなさい。
（１）Ｂ君が昨夜９時に時計を合わせたとき、Ａ君の時計は何時何分何秒を示していましたか。
（２）２人が夕方出会った本当の時刻を求めなさい。ただし、秒未満は切り捨てて答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校９７年第２問）

（１）

問題文を整理すると、次のようになります。

正しい時計　前日２１時　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  Ｂの時計　前日２１時
正しい時計　？時？分　　　　   Ａの時計　９時　　　　　　　 Ｂの時計　９時
正しい時計　１２時　　　　　　　 Ａの時計　１２時　　　
正しい時計　？時？分　　　　　Ａの時計　１６時５５分　　　Ｂの時計　１７時

２人の時計が朝の９時を指していた時から２人が会うまで、Ａ君の時計は７時間５５分、Ｂ君の時計は８時間進んでいます。

Ａ君とＢ君の時計の速さの比は、 

４７５：４８０＝９５：９６

Ｂ君が昨夜９時に時計を合わせたとき、Ａ君の時計は、

１２×６０×１/９６＝７．５

７．５分進んでいたはずです。 

よって、午後９時７分３０秒となります。

（２）

昨夜の午後９時にＡ君の時計は午後９時７分３０秒を指し、翌日の正午に正しい時間になったので、 

正しい時計の速さ：時計Ａの速さ＝９００：８９２．５＝１２０：１１９

そして、

１２０：１１９＝○：４時間５５分

○×１１９＝１２０×２９５

○＝２９７・５７/１１９

４時間５７分と、

６０×５７/１１９＝２８．７・・・・・・

答えは、午後４時５７分２８秒です。

＜時計算２＞  

３時３３分のように同じ数字が３つ並ぶ時刻のうち、短針から時計回りに長針まで測った角度が最も大きいのは何度ですか。

　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校９１年第１問）

候補になるのは、１時１１分、２時２２分、３時３３分、４時４４分、５時５５分ですね。

短針から時計回りに長針まで測った角度ですから、５時５５分の角度を求めるべきですね。

６時から５分戻るので、

１８０－（５．５×５）＝１５２．５ 

答えは、１５２．５°になります。

＜時計算３＞   

１０時１０分から１１時１０分までの６０分間の、時計の時針（短針）、分針（長針）、秒針について、次の問いに答えなさい。
 

（１）時針と分針が重なる時刻を求めなさい。ただし、秒の値（あたい）のみ分数を用いて答えること。
（２）時針、分針、秒針の３つの針が、どの２つも重なっていないときを考えます。このとき、右の図のように時計の中心は３つの角に分かれます。（１）で求めた時刻から１１時１０分までの間に、このうち２つの角が等しくなる回数と、最後に２つの角が等しくなる時刻を求めなさい。ただし、時刻については秒の値（あたい）のみ分数を用いて答えること。

　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校１０年第３問）

（１）

１０時をスタートと考えましょう。

３００÷（６－０．５）＝５４・６/１１

６/１１×６０＝３６０/１１＝３２・８/１１

答えは、５４分３２・８/１１秒

（２）

長針と短針の位置関係は次の図のようになり、秒針が１周する間（１分間）に４回条件を満たすことがわかります。 

１１時１０分－１０時５４分３２・８/１１秒＝１５分２７・３/１１秒
 

秒針は１５周と半周弱ですが、１１時１０分の時計の位置（下の図を参照）を思い浮かべれば、最後の半端の部分は（あ）の状況で終わっていることがわかります。

したがって、

４×１５＋１＝６１

２つの角が等しくなる回数は、６１回です。

次は条件を満たす最後の時刻を求めるので、１１時１０分からさかのぼって考えます。

図の△の角度は、
 

３０－１０×０．５＝２５°

１１時１０分から、（あ）の状態になるのは、秒針と長針のちょうど真ん中に短針が来るときです。

秒針と長針の常に真ん中にある架空の針Ｘを考えると、針Ｘと短針が重なる場合を考えればいいですね。

針Ｘは、１１時１０分の時点で図の位置（□＝３０°）にあり、毎分（３６０＋６）/２＝１８３°の速さで動くので、時計を逆回ししたときに、針Ｘと短針が初めて重なる（針Ｘが初めて短針に追いつく）のは、

（２５＋３０）÷（１８３－０．５）＝１１０/３６５＝２２/７３分後

したがって、求める時刻は、

１１時１０分－２２/７３分＝１１時９・５１/７３分＝１１時９分３０６０/７３秒
＝１１時９分４１・６７/７３秒
 

答えは、１１時９分４１・６７/７３秒となります。

＜時計算４＞   

２つの時計ＡとＢを、ともに２月１日午前１０時に正しく合わせました。Ａの時計が２月２日午前１０時になったとき、Ｂの時計は２月２日午前９時５４分でした。Ａの時計は１日に６分進むことがわかっています。Ｂの時計は正しいですか。それとも、１日に何秒進みますか、何秒おくれますか。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校９８年第６問）

Ａの時計とＢの時計の速さの比は、 

２４時間：２３時間５４分＝２４０：２３９

Ａの時計と正しい時計の速さの比は、

２４時間６分：２４時間＝２４１：２４０

Ａの時計と、正しい時計と、Ｂの時計の速さの比は、連比を使って、

（２４１×２４０）：（２４０×２４０）：（２４１×２３９）

＝５７８４０：５７６００：５７５９９

Ｂの時計は、正しい時計よりも１/５７６００遅いわけです。

１日は、６０×６０×２４＝８６４００秒なので、

８６４００×１/５７６００＝１．５

答えは、１日に１．５秒遅れる、です。

＜流水算１＞    

２１kmはなれた川のＡ地点とＢ地点を船で往復しました。ＡからＢへ上るときには２時間６分かかり、ＢからＡへ下るときには、川の流れが上りのときより１時間あたり１．４km速くなっていたので、１時間１５分ですみました。次の問に答えなさい。
（式や考え方も書きなさい。）
 

（１）水の流れがないとき、この船の速さは時速何kmですか。
（２）ＢからＡへ下るときの川の流れが、もし上りのときより１時間あたり０．４kmおそくなっていたとすると、下りにはどのくらいの時間がかかりますか。

　　　　　　　　　　　　　　　（武蔵中学校０７年第２問）

上りの速さは、

２１÷２・１/１０＝１０

時速１０kmですね。

下りの速さは、

２１÷１・１/４＝１６・４/５

時速１６・４/５kmですね。

川の流れが速くなければ、

１６・４/５－１・２/５＝１５・２/５（ｋｍ／時）

したがって、静水時の速さは、

（１０＋１５・２/５）÷２＝１２・７/１０

答えは、時速１２・７/１０kmです。

（２）

本来の川の流れの速さは、

１２・７/１０－１０＝時速２・７/１０km

それよりも時速４/１０km遅いので、

２・７/１０－４/１０＝２・３/１０（ｋｍ／時）

したがって、

２１÷（１２・７/１０＋2・３/１０）＝１・２/５

答えは、１時間２４分です。