中学受験　算数

＜平面図形１＞ 

上の図で、三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＨは直角三角形で、ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＢ＝４cm、ＤＨ＝３cm、ＢＣ＝５cmです。次の問に答えなさい。（式や説明もかきなさい）
（１）三角形ＡＦＥの、ＡＥを底辺とみたときの高さを求めなさい。
（２）三角形ＦＨＣの面積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（武蔵中学校０２年第２問）

（１）

下の図のように、Ｉを設定してみましょう。

三角形ＡＩＦと三角形ＡＢＣは相似です。

 ＡＢ：ＢＣが１２：５なので、ＡＩ：ＩＦも１２：５になるはずです。

 三角形ＥＤＨと三角形ＥＩＦも相似です。

 ＤＨ：ＥＤが３：４なので、ＩＦ：ＥＩも３：４になるはずです。 

ＩＦが共通するので、連比ができて、

ＡＩ：ＩＦ：ＥＩ＝３６：１５：２０

ＡＥが比の５６で８ｃｍなので、 

５６：８＝１５：○ 

○＝８×１５÷５６

＝２・１/７

したがって、２・１/７cmとなります。 

（２）

図形全体から三角形ＦＨＣ以外を引けばいいわけです。

三角形ＦＨＣ以外を、ＡＨＥ＋ＡＢＣ－ＡＥＦとすればいいのです。

全体は、 

４×３÷２＋（３＋５）×８÷２＝３８cm²

 ＡＨＥ＋ＡＢＣ－ＡＥＦは、

８×３÷２＋１２×５÷２－８×２・１/７÷２

＝１２＋３０－８・４/７

＝３３・３/７cm²

したがって、

３８－３３・３/７＝４・４/７

答えは、４・４/７cm²となります。

＜平面図形２＞

横の辺の長さが６ｍの長方形の部屋の床（ゆか）に正方形のタイルをしきつめます。横の辺に平行な直線で床を２つの長方形に分けて、一方には一辺が５０cmのタイルをしき、もう一方には一辺が３０cmのタイルをしくと、床全面にしきつめられます。このとき使うタイルは合計２２８枚です。
また、直線を横の辺に平行なままずらして床を前とは別の２つの長方形に分けて、一方には一辺が４０cmのタイルをしき、もう一方には一辺が３０cmのタイルをしいても、床全面にしきつめられます。このとき使うタイルは合計２２０枚です。
部屋のたての辺の長さは何ｍですか。（式や考え方も書きなさい。）

　　　　　　　　　　　　　　　（武蔵中学校０９年第３問）

下のような図になりますね。

横の辺の長さが６ｍなので、５０cmのタイルは横に１２枚ずつ、３０cmのタイルは横に２０枚ずつ、４０cmのタイルは横に１５枚ずつ入ります。

したがって、

５０×□＋３０×○＝４０×△＋３０×☆

□×１２＋○×２０＝２２８

△×１５＋☆×２０＝２２０

□×１２＋○×２０＝２２８なので、□は４、９、１４などになるはずです。

□が４なら、○は９、

□が９なら、○は６、

□が１４なら、○は３です。

したがって、縦の長さの候補は、 

５０×４＋３０×９＝４７０cm

５０×９＋３０×６＝６３０cm

５０×１４＋３０×３＝７９０cm

さらに、△×１５＋☆×２０＝２２０なので、

△が４なら、☆は８、

△が８なら、☆は５、

△が１２なら、☆は２です。

したがって、縦の長さの候補は、 

４０×４＋３０×８＝４００cm

４０×８＋３０×５＝４７０cm

４０×１２＋３０×２＝５４０cm

共通する４７０cmが縦の長さとなります。

答えは、４．７ｍです。

＜平面図形３＞

<<図１>>のように、円周上に３点をとって正三角形をつくると、図形の大きさにかかわらず、正三角形の面積と円の面積の比はおよそ５：１２になります。
<<図２>>は、同じ大きさの小円６個と大円１個を組み合わせた図形です。小円１個の面積が３１２cm²のとき、次の問いに答えなさい。
（１）<<図２>>の大円の面積は何cm²ですか。
（２）<<図２>>の斜線(しゃせん)のついた部分全体の面積はおよそ何cm²ですか。
（斜線のついた部分とは、図の色をつけた部分です。）

 　　　　　　　　　　　　　　　（開成中学校０５年第３問）

（１）

下の図を見てください。

小円に内接する正三角形は、大きな円に内接する正三角形の１/３になります。

 したがって、大円の面積は小円の面積の３倍になります。 

３１２×３＝９３６

答えは、９３６cm²です。

（２）

下の図を見てください。

大円の面積から内接する正三角形の１２/９を引けば答えになりますね。

９３６－（９３６×５/１２×１２/９）＝９３６×４/９＝４１６

答えは、４１６cm²です。

＜平面図形４＞

下の図は点Ｏを中心とする中心角９０゜、半径２、４、６、８、１０、１２cmのおうぎ形をかき、さらに孤（こ）ＡＢ（おうぎ形の曲線の部分）を６等分した点と中心Ｏを直線で結んだものです。（１）、（２）の図についてそれぞれかげをつけた部分の面積を求めなさい。ただし、答えは小数第２位を四捨五入して小数第１位まで求めなさい。

（円周率の値（あたい）を用いるときは、３．１４として計算しなさい。）
 

（追加設問）
（３）下の図のかげをつけた部分の面積を求めなさい。（条件設定は、上の設問と同じですが、「但（ただ）し書き」は不要です。）

　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校９８年第３問）

（１）

移動させるとこうなりますね。

したがって、

１２×１２×３．１４×４５/３６０＝５６．５２

答えは、５６．５２cm²になります。

（２）

半径２、４、６、８、１０、１２cmのおうぎ形が６枚あり、それぞれが中心角１５°なので、

（１２×１２＋１０×１０＋８×８＋６×６＋４×４＋２×２）×３．１４×１５/３６０

＝（１４４＋１００＋６４＋３６＋１６＋４）×３．１４×１/２４

＝３６４×３．１４×１/２４

＝９１/６×３．１４

＝４７．６２・・・・・・

答えは、４７．６cm²になります。

（３）

（１）や（２）の解法ではうまくいきませんね。
 
中心角１５度、半径２、４、６、８、１０、１２cmのおうぎ形はすべて相似ですね。

相似比は、

２：４：６：８：１０：１２＝１：２：３：４：５：６

面積比は、

１×１：２×２：３×３：４×４：５×５：６×６

＝１　：　４　：　９　：　１６：　２５：　３６
　　　　　　　

１マスの面積比は、

１：３：５：７：９：１１

求める面積は、中心角１５度、半径２cmのおうぎ形（最小の１マス）の、
 

（１＋３×３＋５×２＋７×４＋９×１＋１１×３）＝９０倍
 

したがって、

２×２×３．１４×１５/３６０×９０

１５×３．１４＝４７．１

答えは、４７．１cm²になります。

＜平面図形５＞

図の点線は平面を同じ大きさの正三角形でしきつめたものです。図１の正三角形の面積を１cm²とするとき、次の各問いに答えなさい。

（１）図２の正三角形の面積を求めなさい。
（２）点線の交点を頂点とするような、面積が１３cm²の正三角形を１つ、答のらんにかきなさい。
（３）図３のような、面積がそれぞれ３cm²、７cm²、１３cm²の正三角形で囲まれた三角形ＡＢＣを、答のらんにかきなさい。ただし、頂点Ａ、Ｂ、Ｃは点線の交点になるようにします。また頂点Ａ、Ｂ、Ｃの記号もかき入れなさい。

（４）三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

なお、（２）、（３）の解答欄には次のような図がありました。

（麻布中学校０７年第５問）

（１）

下の図を見てください。

青い正三角形は小さな正三角形の４倍の大きさなので面積は１６倍になります。

 黄色の部分が３cm²なので、

１６－（３×３）＝７

答えは、７cm²です。

（２）

下の図を見てください。

 ２５cm²から１２cm²を引けばいいので、

黄色い正三角形の中の黄緑色の正三角形が答えです。

（３）

面積が７cm²と１３cm²の正三角形は（１）と（２）で登場しているので、後は、面積が３cm²の正三角形を考えればいいですね。
 

正六角形の分割のイメージを利用すれば、次の図の黄色の正三角形の面積が３cm²となることはすぐにわかりますね。　

（２）の答えを写すようにＡＣを書いた後、ＢＣが条件を満たすようにＡＢを書きます。
 

答えは下のようになります。

（４）

図の赤色の平行四辺形の面積から、３つの水色の三角形の面積をひけばいいので、

三角形ＡＢＣの面積は、

１２－（２＋２＋３）＝５
 

答えは、５cm²です。

＜平面図形６＞

半径１２cmの円がくりぬかれた長方形の板が固定してあります。くりぬかれた部分を大円と呼ぶことにします。図１のように、大円の中に半径５cmの小円板が置いてあり、その円周には４等分する点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが記してあります。

いま、小円板の点Ａと大円の点Ｘが重なっています。このとき、小円板は点Ａで大円に「接している」といいます。小円板を矢印の方向に回転させて、大円にそってすべらないように転がすとき、次の問いに答えなさい。
 

（１）図２のように、小円板の点Ａが、ふたたび大円と接するとき、角度（あ）を求めなさい。また、小円板が通った部分の面積を求めなさい。ただし、点Ｏは大円の中心とします。
（２）小円板の点Ａが、ふたたび図１のように大円の点Ｘと重なるまでに、小円板の点Ｃは何回大円と接しましたか。

　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校０２年第４問）

（１）

大円と小円の円周の長さの比は１２：５なので、

３６０×５/１２＝１５０

角度（あ）は、１５０°になります。

面積は下の図の黄色－黄緑色＋水色です。

よって、

（１２×１２－２×２）×３．１４×５/１２＋５×５×３．１４

（５８・１/３＋２５）×３．１４＝２６１・２/３

小円板が通った部分の面積は、２６１．２/３cm²となります。

（２）

大円と小円板の円周の比が、１２：５なので、最小公倍数である６０の距離を進むと、再び点Ａと点Ｘが重なります。

 その間に小円板は１２回転するので、

 答えは、１２回です。

＜平面図形７＞

円の１/４の部分の図形ＯＡＢがあります。次の問いに答えなさい。
 

（１）下の図において、斜線（しゃせん）部分の面積と図形ＯＡＢの面積の比を求めなさい。ただし、直線ＯＡ、ＣＤ、ＥＦは平行です。




（２）下の図のように図形ＯＡＢの孤（こ）ＡＢ（曲線の部分）を５等分した各点からＯＡに平行な直線を引きました。ＯＡを５cmとしたとき、２つの斜線部分の面積の和を求めなさい。

 
　　　　　　　　　　　　　　　（麻布中学校０８年第６問）
 

（１）
下の図を見てください。

三角形ＯＥＦと三角形ＤＣＯは合同になります。

よって、斜線部の面積はおうぎ形ＯＤＦと等しくなります。

おうぎ形ＯＤＦの中心角が４０°で、おうぎ形ＯＡＢの中心角が９０°なので、

答えは４：９になります。

（２）

次のように考えましょう。

 曲線上点とおうぎ形の中心点を結びます。

上の斜線部分＝黄色＋水色－黄緑色

下の斜線部分＝クリーム色＋茶色－オレンジ色

黄色とオレンジ色が同じ面積で、黄緑色とクリーム色も同じ面積なので、

斜線部分の合計＝水色＋茶色

よって、

５×５×３．１４×１/４×２/５＝７．８５

答えは７．８５cm²となります。

＜平面図形８＞

図のように点Ａを中心とした４つの半円をそれぞれ６等分します。
次の問いに答えなさい。
 

（１）図の中で一番大きいおうぎ形の面積と、一番小さいおうぎ形の面積の比をできるだけかんたんな整数の比で表しなさい。
（２）図の中におうぎ形は何個ありますか。
（追加設問）（３）図の中にあるおうぎ形の面積の和は何cm²ですか。ただし、円周率は３．１４とします。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校９６年第５問）

 （１）

一番大きいおうぎ形は半円のすべてで、一番小さいおうぎ形は半径１ｃｍで角度が３０°のおうぎ形ですね。

 同じ図形で面積の比が問題なので、円周率は無視できます。

（４×４×１８０/３６０）：（１×１×３０/３６０）

＝（８×３．１４）：（１/１２×３．１４）

答えは、９６：１です。

（２）

半径が４ｃｍのおうぎ形は、

１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１

半径が３ｃｍ、２ｃｍ、１ｃｍが同じ数ずつあるから、

２１×４＝８４

答えは、８４個です。

（３）

一番小さいおうぎ形をまず出します 

１×１×３，１４×３０/３６０＝３．１４×１/１２cm²

その何倍かを求めましょう。

９６＋８０×２＋６４×３＋４８×４＋３２×５＋１６×６＝８９６

５４＋４５×２＋３６×３＋２７×４＋１８×５＋９×６＝５０４

２４＋２０×２＋１６×３＋１２×４＋８×５＋４×６＝２２４

６＋５×２＋４×３＋３×４＋２×５＋１×６＝５６

８９６＋５０４＋２２４＋５６＝１６８０

１６８０×３．１４×１/１２＝４３９．６

答えは、４３９．６cm²です。

＜平面図形９＞

図のように、直角三角形と半円があります。部分の面積と部分の面積の合計は、１３６．９７cm²です。部分の面積を求めなさい。

（円周率は３．１４とします。）

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校０４年第３問）

半円の面積は、

 １３×１３×３．１４÷２＝２６５．３３cm²

 直角三角形の面積は、

 ２６×１５÷２＝１９５cm²

その２つの面積の合計から１３６．９７cm²を引くと白い部分の面積の２倍がでるので、

 （２６５．３３＋１９５－１３６．９７）÷２＝１６１．６８cm²

 斜線部分は、半円の面積からこの面積を引けばいいので、

２６５．３３－１６１．６８＝１０３．６５

答えは、１０３．６５cm²となります。

＜平面図形１０＞

 図のように、半径の長さが６cmの半円があります。部分の面積を求めなさい。

 　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校０５年第４問）

下の図を参考にしてください。

中心角が１５０°のおうぎ形の面積から三角形の面積を引けばでますね。

 ６×６×３．１４×１５０/３６０＝４７．１cm²

 ６×３÷２＝９cm²

したがって、

４７．１－９＝３８．１

答えは、３８．１cm²となります。

＜平面図形１１＞

図は三角錐（すい）の展開図です。直線ＡＣと直線ＡＤの長さが等しく、直線ＦＤと直線ＦＥの長さが等しいです。
（イ）と（エ）の面積の比は３：２です。（ア）と（イ）の面積の合計は、（ウ）と（エ）の面積の合計より２６．８cm²大きいです。（ア）と（ウ）の面積の合計は、（イ）と（エ）の面積の合計より７６cm²大きいです。この三角錐の体積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校０２年第４問）

（ア）と（ウ）の面積は等しいので、（イ）は（エ）よりも２６．８cm²大きいことになります。

（イ）は、３×２６．８＝８０．４cm²

（エ）は、２×２６．８＝５３．６cm²

（ア）と（ウ）は、

（８０．４＋５３．６＋７６）÷２＝１０５

 三角錐の高さ（ＡＢもしくはＡＦ）は、

 １０５×２÷１４＝１５

よって、三角錐の体積は、 

５３．６×１５÷３＝２６８

答えは、２６８cm³となります。

＜平面図形１２＞

図の三角形ＡＢＣは、辺ＡＢと辺ＡＣの長さが等しく、辺ＢＣの長さは６cmです。頂点Ａから辺ＢＣに垂直に引いた直線ＡＤと、頂点Ｃから辺ＡＢに垂直に引いた直線ＣＥとが交わった点をＦとします。次の問いに答えなさい。

（１）（あ）の角度を求めなさい。
（２）直線ＡＦの長さを求めなさい。
（３）三角形ＡＦＣの面積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（フェリス女学院中学校０９年第５問）

（１）

角ＢＥＣが直角なので、角ＢＣＥは、

１８０－９０－６７.５＝２２．５

角（あ）は、

６７．５－２２．５＝４５

答えは、４５°です。

（２）

（１）の答えから、三角形ＡＥＣは角ＡＥＣが直角の直角二等辺三角形なので、ＡＥとＣＥの長さは等しくなります。

角ＢＣＥが２２．５°で、角ＦＡＥも、

１８０－６７．５－９０＝２２．５

したがって、三角形ＡＥＦと三角形ＣＥＢは合同となります。

ＡＦ＝ＣＢ＝６cm

答えは、６ｃｍです。

（３）

底辺のＡＦが６ｃｍで高さのＤＣが３ｃｍなので、ＡＦＣの面積は、

６×３÷２＝９

答えは、９cm²です。

＜平面図形１３＞

 斜線部の面積は、

 おおぎ形ＡＢＤ＋三角形ＡＢＣ－三角形ＤＢＥ－おおぎ形ＣＢＥ

 三角形ＡＢＣ＝三角形ＤＢＥなので、求める面積は、

おおぎ形ＡＢＤ－おおぎ形ＣＢＥ

１０×１０×３．１４×１２０/３６０－５×５×３．１４×１２０/３６０

 ＝７５×３．１４×１/３

 ＝２５×３．１４

 ＝７８．５

答えは７８．５cm²です。

 
＜平面図形１４＞

面積が１４０cm²の長方形アイウエがあります。図のように、点オは長方形の内側にあり、三角形アイオの面積は４２cm²、三角形イウオの面積は２１cm²です。
次の問いに答えなさい。
 

（１）三角形ウエオの面積を求めなさい。
（２）三角形イエオの面積を求めなさい。
（３）線アウと線イエが交わった点をカ、線アウと線エオが交わった点をキとします。
　　三角形エカキの面積は三角形ウオキの面積よりどれだけ大きいですか。

　　　　　　　　　　　　　　　（筑波大学附属駒場中学校０３年第１問）

（１）

三角形アイオの面積と三角形ウエオの面積の和は、長方形アイウエの面積の半分なので、

 １４０÷２－４２＝２８

答えは、２８cm²です。

（２）

三角形イウエの面積は長方形アイウエの半分なので、

１４０÷２－２８－２１＝２１

答えは、２１cm²です。

（３）

下の図を見てください。

三角形エカキと三角形ウオキの代わりに、三角形エカウと三角形ウオエで比較してもいいですね。

 三角形エカウの面積は、

1４０÷４＝３５cm²

三角形ウオエは２８cm²なので、

３５－２８＝７

答えは、７cm²です。

＜平面図形１５＞

　長方形の紙に、まっすぐな線を、１本ずつ重ならないようにかきます。
　たとえば、まっすぐな線３本を図１のようにかいたとき、交点の個数は３個です。

（１）まっすぐな線を４本かいたとき、交点は最も多くて何個できますか。
（２）まっすぐな線を何本かかいたとき、１００個以上の交点ができました。
　かいた線の本数として、考えられるもののうち、最も少ない本数を答えなさい。

　次に、図２のような、１回折り曲げた線を考えます。

　長方形の紙に折り曲げた線を、１つずつ、重ならないようにかきます。
　２つの折り曲げた線でできる最も多い交点の個数は４個で、たとえば図３のようにかいた場合です。

（３）折り曲げた線をいくつかかいたとき、１００個以上の交点ができました。
　折り曲げた線をいくつかきましたか。考えられるもののうち、最も少ない数を答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（筑波大学附属駒場中学校０８年第２問）

（１）

直線の数と交点の関係は、

 ２本で１つ、

３本で３つ（１＋２）、

４本で６つ（１＋２＋３）なので、

答えは、６つです。

（２）

（１）の考え方から、１１本で５５個だと分かります。

よって、

 １２本で６６個（＋１１）、

 １３本で７８個（＋１２）、

 １４本で９１個（＋１３）、

 １５本で１０５個（＋１４）なので、

答えは、１５本です。

（３）

新しく書き込むそれぞれの直線が、１つの折れ線と交点を２個持つから、折れ線ひとつで新たに４個の交点ができる。

折れ線の数と交点の関係は、

折り曲げた線２つで４つ、

折り曲げた線３つで１２個（４＋８）、

折り曲げた線４つで２４個（４＋８＋１２）、

折り曲げた線５つで４０個（４＋８＋１２＋１６）、

折り曲げた線６つで６０個（４＋８＋１２＋１６＋２０）、

折り曲げた線７つで８４個（４＋８＋１２＋１６＋２０＋２４）、

折り曲げた線８つで１１２個（４＋８＋１２＋１６＋２０＋２４＋２８）、

答えは、８つです。

＜平面図形１６＞

下の図の直角三角形ＡＢＣで、三角形ＡＤＦの面積は１６cm²です。
（１）ＡＤとＤＢの長さの比を求めなさい。
（２）三角形ＤＥＦの面積を求めなさい。


　　　　　　　　　　　　　　　（桐朋中学校０３年第３問）

（１）

下の図を見てください。

三角形ＡＤＣの面積と三角形ＡＤＦの面積比は、

１２：８＝３：２

比の２が１６cm²なので、

１６×３/２＝２４cm²

三角形ＡＤＣは２４cm²なので、三角形ＤＢＣは、

１０×１２÷２－２４＝３６cm²

 よって、ＡＤとＤＢの長さの比は、

 ２４：３６＝２：３

 答えは、２：３です。

（２）

三角形ＡＤＦが

 ２/３×２/５＝４/１５（１６cm²）だとするなら、

三角形ＤＢＥは、

 ７/１０×３/５＝２１/５０（２５．２cm²）となるので、

６０－１６－２５．２－３×４÷２＝１２．８

答えは、１２．８cm²です。

＜平面図形１７＞

下の図のような台形ＡＢＣＤがあります。Ｐは辺ＣＤ上の点です。
（１）ＣＰの長さが４cmのとき、三角形ＡＢＰの面積は何cm²ですか。
（２）次のとき、ＣＰの長さはそれぞれ何cmですか。
　　①三角形ＡＤＰの面積と三角形ＢＣＰの面積の比が３：２のとき
　　②三角形ＡＢＰの面積が３０cm²のとき

　　　　　　　　　　　　　　　（桐朋中学校０８年第５問）

（１）

台形の面積が、

（６＋１０）×９÷2＝７２cm²

三角形ＢＣＰの面積が、

１０×４÷２＝２０cm²

三角形ＡＤＰの面積が、

６×５÷２＝１５cm²

したがって、

７２－２０－１５＝３７

答えは、３７cm²です。

（２）

①

三角形ＡＤＰの面積：三角形ＢＣＰの面積＝３：２　なので、

３：２＝（ＤＰ×６）：（ＰＣ×１０）

 ＤＰ×２＝ＰＣ×５

 ＤＰ：ＰＣ＝５：２

９×２/７＝２・４/７

 答えは、２・４/７cmです。

②

三角形ＡＢＰの面積が３０cm²のときは、三角形ＡＤＰと三角形ＢＣＰの面積が４２cm²になるときなので、

ＤＰ×６＋ＰＣ×１０＝４２×２

ＤＰ＋ＰＣ＝９

 つるかめ算ですね。

 ９×１０－８４＝６

 ６÷（１０－６）＝１．５

 ＤＰが１．５cmなので、

 答えは、７．５cmです。

＜平面図形１８＞

黒い部分が３/８なら、白い部分は５/８ですね。

そうすると、三角形ABOは１/８になります。

４×４×３．１４÷２÷８＝３．１４

４×○÷２＝３．１４

○＝１．５７

答えは、１．５７cmです。

＜平面図形１９＞

ぬりつぶした部分の面積は何cm²ですか。円周率は３．１４です。





　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０３年第３問）

中央の直角二等辺三角形（正方形の半分）の面積は、

４×４÷２÷２＝４cm²

左の半円の面積は、

２×３．１４÷２＝３．１４cm²（初めの２は上の答えの半分）

右上のおうぎ形の面積は、

２×２×３．１４×１３５/３６０＝４．７１cm²

４＋３．１４＋４．７１＝１１．８５

答えは、１１．８５cm²です。

＜平面図形２０＞

右の図は正方形と円を組み合わせたものです。

かげをつけた部分の面積は何cm²ですか。円周率は３．１４です。（式と計算と答え）



　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０７年第１問）

大きな円から、それに内接する正方形を引くと、

４×４×３．１４－８×８÷２

＝５０．２４－３２

＝１８．２４

小さな円に内接する正方形は、大きな円に内接する正方形の半分の面積なので、

１８．２４×１．５＝２７．３６

答えは、２７．３６cm²です。

＜平面図形２１＞

　たて８．４cm、横１５．６cmの長方形のタイルがたくさんあります。これを図のように同じ向きにならべて正方形を作ります。タイルをたくさん使うといろいろな大きさの正方形ができます。
（１）いちばん小さい正方形の１辺は何cmですか。（式と計算と答え）
（２）小さいほうから６番目の正方形を作るにはタイルを何枚使いますか。（式と計算と答え）

　　　　　　　　　　　　　　　（雙葉中学校０２年第２問）

（１）

８４と１５６の最小公倍数を出すだけですね。

８４＝２×２×３×７

１５６＝２×２×３×１３

２×２×３×１３×７＝１０９２

 答えは、１０９．２cmです。

 （２）

１０９．２×６＝６５５．２

６５５．２÷８．４＝７８

６５５．２÷１５．６＝４２

７８×４２＝３２７６

答えは、３２７６枚です。

＜平面図形２２＞

４枚の半円の形をした紙Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあります。
この４枚の半円の直径はＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの順に大きくなっています。
Ａの直径の４/３倍がＢの直径、Ｂの直径の４/３倍がＣの直径、Ｃの直径の４/３倍がＤの直径となっています。Ｄの直径は２５．６cmです。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを図のように４枚重ねました。
斜（しゃ）線の引いてある２つの図形の周りの長さの合計を求めなさい。

（斜線部分とは、図の影をつけた部分のことです。）

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０６年第２問）

半円D、C、B、Aを比にしてみましょう。

１：３/４：９/１６：２７/６４

＝６４：４８：３６：２７

斜線部の長さが、

２５．６×（６４/６４－４８/６４＋３６/６４－２７/６４）

＝２５．６×２５/６４

＝１０

４つの半円の孤の長さが、

２５．６×（６４/６４＋４８/６４＋３６/６４＋２７/６４）×３．１４÷２

＝２５．６×１７５/６４×３．１４÷２

＝３５×３．１４

＝１０９．９

したがって、

１０＋１０９．９＝１１９．９

答えは、１１９．９ｃｍです。

＜平面図形２３＞

 紙の上に１辺の長さが３cmの正三角形がかいてあります。透（とう）明な材質でできた半径３cmの円を上にのせます。正三角形がはみでないようにこの円を動かすとき、円が動ける範（はん）囲を図にかきこみ、その周の長さを求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０４年第４問）

下の図を参考にしてください。

（黄色い部分の孤＋青い部分の孤）×３　ですね。

（１２×３．１４×６０/３６０＋６×３．１４×６０/３６０）×３

＝９×３．１４

＝２８．２６

答えは、２８．２６cmです。

＜平面図形２４＞

図１のように直線上に直角三角形と半円があります。
直角三角形は矢印の向きに毎秒１cmの速さで動きます。
 

（１）点Ｃが半円の中心Ｏと重なるのは今から何秒後ですか。
（２）この直角三角形に図２のように斜線をひきました。
　　①（１）のとき斜線部分と半円が重なっている部分の面積を求めなさい。
　　②（１）のときから５秒後に、斜線部分と半円が重なっている部分の面積を求めなさい。
　　　　（斜線部分とは、かげをつけた部分のことです。）

 

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０７年第２問（問題）

（１）

７＋５＝１２

答えは、１２秒後です。

（２）

①

下の図のようになりますね。

５×５×３．１４÷４－５×５÷２

＝７．１２５

答えは、７．１２５cm²です。

②

下の図のようになりますね。

５×５÷２＋５×５×３．１４×４５/３６０

＝２５/２＋１５７/１６

＝３５７/１６

＝２２・５/１６

答えは、２２・５/１６cm²です。

＜平面図形２５＞

下の図のように１辺の長さが４cmの正方形５つでできた図形があります。半径１cmの円が辺から離（はな）れずに回転し、この図形の外側を１周します。このとき、円が通った部分の面積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０８年第２問）

下の図の４倍が答えになりますね。

２×２×３．１４÷２

＋２×２

＋２×４×２

－（２×２－１×１×３．１４）÷４

＝６．２８＋４＋１６－０．２１５

＝２６．０６５

２６．０６５×４＝１０４．２６

答えは、１０４．２６cm²となります。

＜平面図形２６＞

下の図は、ＡＢを直径とする半径３cmの円です。図の・はすべて１５ﾟです。
（１）アとイの斜（しゃ）線の部分の面積の和を求めなさい。
（２）イの斜線の部分の面積を求めなさい。

（斜線の部分というのは、かげをつけた部分になります。右側がアで、左側がイです）

　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学校０９年第２問）

（１）

下の図のようにアをウに置きかえます。

円から内接する正方形を切り取って４で割ったものを、半円から引けばいいのです。

（３×３×３．１４－６×６÷２）÷４＝２．５６５

３×３×３．１４÷２－２．５６５＝１１．５６５

答えは、１１．５６５cm²です。

（２）

（１）の答えからアの面積を引けばいいので、

３×３×３．１４×３０/３６０＝２．３５５

３×１．５÷２＝２．２５

１１．５６５－（２．３５５＋２．２５）＝６．９６

 答えは、６．９６cm²です。

＜平面図形２７＞

右の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形です。
同じ印のついているところは、同じ長さを表します。
 

（１）ＢＨとＩＤの長さの比を、最も簡単な整数の比で表すと□：□です。
（２）三角形ＡＨＩの面積は□cm²です。

 

　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校０２年第２問）

（１）

三角形ＡＢＩと三角形ＧＤＩが相似形で、相似比は２：１ですね。

よって、ＢＩ：ＩＤも２：１です。

三角形ＡＨＤと三角形ＥＨＢも相似形で、相似比は３：１なので、

ＢＨ：ＨＤは１：３です。

したがって、

ＢＨ：ＨＩ：ＩＤ＝３：５：４

答えは、３：４です。

（２）

長方形の面積が、

 ６×１２＝７２

７２÷２×５/１２＝１５

 答えは、１５cm²です。

＜平面図形２８＞

辺の長さが６cm、８cm、対角線の長さが１０cmである２つの長方形アイウエとキウオカがあります。
右の図は、これらとウを中心とする円の一部、ウカを直径とする半円、長方形ケクウアを組み合わせた図形です。
図の影（かげ）をつけた部分の面積を求めなさい。
ただし、円周率は３．１４とします。

　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校０６年第５問）

 求めるべき面積は、おうぎ形アウカ＋半円＋長方形アケクウ－長方形アイウエとキウオカ

 長方形アケクウは長方形アイウエ（もしくはキウオカ）と同じ面積なので、

 １０×１０×３．１４÷４＋５×５×３．１４÷２－６×８

＝３７．５×３．１４＋４８

＝６９．７５

答えは、６９．７５cm²です。
 

＜平面図形２９＞

正五角形と、その頂点を中心とする円で図をかきました。影（かげ）をつけた部分の周囲の長さを、円周率３．１４として計算しなさい。


　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校００年第６問）

下の図を見てください。

正五角形の内角は、 

（５－２）×１８０÷５＝１０８

正三角形が１２°かぶっていますね 

２４×２×３．１４×１２/３６０×５＝２５．１２

答えは、２５．１２ｃｍです。
 

＜平面図形３０＞

半径５cmの円が４つあり、図のように中心が隣（とな）りの円の周上にある。影（かげ）をつけた部分の面積を求めなさい。ただし、正三角形の高さを１辺の長さの０．８７倍、円周率を３．１４として計算し、答は小数第３位を四捨五入しなさい。


　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学校０８年第７問）

下の図を見てください。

1辺が５ｃｍの正三角形６つと、半円２つと、おうぎ形2枚の面積を足せばいいですね。

５×５×０．８７÷２×６

＋５×５×３．１４÷２×２

＋５×５×３．１４×１２０/３６０×２

＝６５．２５＋７８．５＋５２．３３３３３３・・・・・・

＝１９６．０８３３３３３３・・・・・・

答えは、１９６．０８cm²です。

＜平面図形３１＞

下の図の平行四辺形で、同じ印のついているところは等しい長さである。（ア）の部分と（ウ）の部分の面積の比は□：□であり、（イ）の部分の面積はこの平行四辺形の全体の面積の□/□である。

　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院９６年第１問）

平行四辺形全体の面積を１とすると、

 （ア）は全体の面積の半分の１/３の１/３なので、

 １/２×１/３×１/３＝１/１８

（ウ）は全体の面積の半分から、その２/３×２/３を引けばいいので、

１/２－１/２×２/３×２/３＝５/１８

１/１８：５/１８＝１：５

（ア）の部分と（ウ）の部分の面積の比は、１：５です。

（イ）の部分の面積は、全体の面積の半分の２/３×２/３から、全体の面積の半分の１/３×１/３を引けばいいので、

 １/２×２/３×２/３－１/２×１/３×１/３＝３/１８

 答えは、１/６です。