カテゴリー別問題の傾向と対策～整理と分類～
帽子（ぼうし）を２つ重ねてかぶっている人が、コインを投げて表が出れば帽子を１つ増やし、裏が出れば帽子を１つ減らすゲームをします。何回かコインを投げて、頭の上に帽子がなくなればゲームは終わります。
（１）太郎君がこのゲームを行いました。ゲームが終わるまでにコインを投げた回数は、５回以内でした。太郎君が投げたコインの表裏の出方を、表を〇裏を×としてすべて書きなさい。
（２）次に、次郎君がこのゲームを行いました。次郎君は、８回目を投げてゲームが終わりました。次郎君が投げたコインの表裏の出方は、全部で何通りありますか。（考え方も書きなさい）
（実際の問題文には、帽子を２つ重ねてかぶっている男の子の絵がありましたが、不要なので、省略しています。）
（武蔵中学校０４年第３問）
（１）
少ない回数から整理してみましょう。
２回の場合、××
３回の場合、なし
４回の場合、○×××、×○××
５回の場合、なし
奇数回数では終わらないことに気がつけば簡単です。
（２）
（１）の答えから、最後の２回は××で終わることが分かります。
したがって、はじめから６回のみを考えればいいのです。
はじめの６回を、○よりも×が２つ多くならない範囲で、○が３つ、×が３つになればいいのです。
はじめの３回が、○○○の場合、１通り。
はじめの３回が、○○×の場合、３通り。
はじめの３回が、○×○の場合、３通り。
はじめの３回が、×○○の場合、３通り。
はじめの３回が、○××の場合、２通り。
はじめの３回が、×○×の場合、２通り。
したがって、
１＋３＋３＋３＋２＋２＝１４
答えは、１４通りです。
＜場合の数２＞
７チームが参加して、サッカーの大会を行いました。試合は総当たり戦（どのチームも他の６チームと１試合ずつ行う方式）で行い、各試合で勝てば２点、負ければ０点、引き分けの場合は１点が与えられました。この点数を勝ち点ということにします。全試合が終わったときのＡチーム以外の各チームの勝ち点の合計は右の表のようになりました。このとき、つぎの各問いに答えなさい。
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チーム名 |
|
Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
Ｅ |
Ｆ |
Ｇ |
|
勝ち点の合計 |
|
|
11 |
5 |
5 |
1 |
11 |
2 |
（１）試合数は全部で何試合でしたか。
（２）Ａチームの勝ち点の合計は何点ですか。
（３）Ａチームは何勝何敗何引き分けですか。理由も述べなさい。
（麻布中学校９８年第２問）
（１）
６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１
答えは、２１試合です。
（２）
１試合ごとに勝ち点が２ずつどこかのチームに加算されるので、合計で４２になるはずです。
４２－（１１＋５＋５＋１＋１１＋２）＝７
答えは、７点です。
（３）
１チーム６試合なので、ＢとＦが５勝１引き分けだったことが分かります。
つまり、ＢとＦは互いに引き分け、それ以外のチームにはすべて勝ったことになります。
したがって、ＡはＣ・Ｄ・Ｅ・Ｇに３勝１引き分けだったはずです。
答えは、３勝２敗１引き分けです。
＜場合の数３＞
あるホテルには部屋が５００室あります。４と９の数字は使わずに１号室、２号室、３号室、５号室、・・・と順に部屋に番号をつけていくと５００番目の部屋は何号室になりますか。
（麻布中学校９４年第４問）
１，２，３，５，６，７，８，１０で８部屋。
１１，１２，１３，１５，１６，１７，１８，２０でさらに８部屋。
そして４０～４９や９０～９９はありません。
１００号室までに、
８×８＝６４部屋あります。
そして、４００～４９９と９００～９９９もありませんね。
８００号室までが、
６４×７＝４４８
８７０号室までが、
４４８＋８×６＝４９６
あと４部屋ですね。
８７１、８７２、８７３、８７５。
答えは、８７５号室です。
＜場合の数４＞
大と小のサイコロが合わせて１８個あります。この１８個のサイコロを同時にふったら、出た目の平均は４でした。大のサイコロだけの出た目の平均は３．４でした。小のサイコロだけの出た目の平均は、どのような場合がありますか。すべての場合を求めなさい。割り切れないときは小数第２位を四捨五入して答えなさい。
（フェリス女学院中学校０３年第２問）
すべてのサイコロの目の合計は、
１８×４＝７２
大のサイコロの平均が３．４なので、大サイコロの目の合計は、
１７か３４か５１のどれかになります。
それぞれ、小の目の合計は、５５か３８か２１となり、
５５÷１３＝４．２３・・・・・・
３８÷８＝４．７５
２１÷３＝７（サイコロの目をこえているので×）
答えは、４．２と４．７５です。
＜場合の数５＞
Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさん、Ｅさんの５人が、記号ア、イ、ウのどれかを選んで答えるクイズをしました。問題は５問あり、１問正解するごとに１点もらえます。５人の答えと得点は、下の表のようになりました。Ｅさんの答えを書き入れなさい。
（女子学院中学校０３年第３問）
０点のＣさんに注目しましょう。
①の答えはアかウ、②の答えはイかウ、③の答えはイかウ、④の答えはアかイ、⑤の答えはアかウ、となります。
Ｂさんは④だけがＣさんと同じなので、④以外の４問中３問が正解したことになります。
ＡさんとＢさんを比べると、①と③が同じですね。
Ａさんは正解が１問で、Ｂさんは不正解が１問なので、①と③のどちらか１問が正解のはずです。
①の正解がアなら、ＡさんとＤさんは①以外がすべて不正解のはずです。
しかし、⑤はイが不正解なので矛盾してしまいます。
よって、①の正解はウとなります。
Ｂさんの解答から、②がイ、③がイ、⑤がウとなり、
④がアと分かります。
答えは、ウ、イ、イ、ア、ウです。